1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis Tentukan jumlah semua nilai x real yang memenuhi persamaan

Berikut ini adalah pertanyaan dari kelvinho018527 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

KuisTentukan jumlah semua nilai x real yang memenuhi persamaan di bawah.
A. -20
B. -14
C. -8
D. 8
E. 12​
Kuis Tentukan jumlah semua nilai x real yang memenuhi persamaan di bawah. A. -20B. -14C. -8D. 8E. 12​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jumlah nilai xreal yang memenuhi adalah–8. (opsi C)
 

Pembahasan

\begin{aligned}&\frac{1}{x^2+2x}+\frac{1}{x^2+6x+8}+\frac{1}{x^2+10x+24}\\&{\qquad=\ }\frac{1}{5}-\frac{1}{x^2+14x+48}\end{aligned}

\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+6)}\\&{\ =\ }\frac{1}{5}-\frac{1}{(x+6)(x+8)}\end{aligned}

\begin{aligned}&\rightsquigarrow\textsf{kedua ruas}\times5x(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)\\{\Rightarrow\ }&5(x+4)(x+6)(x+8)+5x(x+6)(x+8)+5x(x+2)(x+8)\\&{\ =\ }x(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)-5x(x+2)(x+4)\end{aligned}

\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&5(x+6)(x+8)(x+4+x)+5x^3+10x^2+16x\\&{\ =\ }x(x+2)(x+4)\left((x+6)(x+8)-5\right)\end{aligned}

\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&5\left(x^2+14x+48\right)(2x+4)+5\left(x^3+10x^2+16x\right)\\&{\ =\ }\left(x^3+6x^2+8x\right)\left(x^2+14x+43\right)\end{aligned}

\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&5\left(2x^3+32x^2+152x+192+x^3+10x^2+16x\right)\\&{\ =\ }x^5+20x^4+135x^3+370x^2+344x\end{aligned}

\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&15x^3+210x^2+840x+960\\&{\ =\ }x^5+20x^4+135x^3+370x^2+344x\end{aligned}

\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&x^5+20x^4+120x^3+160x^2-496x-960=0\end{aligned}

Koefisien x^5 = 1, dan konstanta atau koefisien x^0 = 960.
960 = 2^6\times3\times5. Jadi, 960 memiliki 7\times2\times2=28 faktor, dan dengan faktor-faktor negatifnya, 960 memiliki 56 faktor.

Perhatikan bahwa  x\: \not \in\: \{\bf0,\,-2,\,-4,\,-6,\,-8\}  agar persamaan awal terdefinisi \forall\,x\in\mathbb{R}. Oleh karena itu, pilih x=2, periksa apakah merupakan solusi/akar, jika ya, faktorkan terhadap (x-2).

\begin{aligned}&(x=\bf2)\\&2^5+20\cdot2^4+120\cdot2^3+160\cdot2^2-496\cdot2-960\\&=32+320+\cancel{960}+640-992-\cancel{960}\\&=32+320+640-992\\&=32+960-992\\&=0\implies \textsf{$(x-2)$ adalah faktor}\end{aligned}

\begin{aligned}0&=x^5+20x^4+120x^3+160x^2-496x-960\\&=(x-2)x^4+22x^4+120x^3+160x^2-496x-960\\&=(x-2)\left(x^4+22x^3\right)+164x^3+160x^2-496x-960\\&=(x-2)\left(x^4+22x^3+164x^2\right)+488x^2-496x-960\\&=(x-2)\left(x^4+22x^3+164x^2+488x\right)+480x-960\\&=(x-2)\left(x^4+22x^3+164x^2+488x+480\right)\end{aligned}

Kemudian, dari x^4+22x^3+164x^2+488x+480=0, karena 480=2^5\times3\times5, maka 480 memiliki 2\times6\times2\times2=48 faktor. Mengingat x\: \not \in\: \{0,\,-2,\,-4,\,-6,\,-8\}, dan bahwa -2, -4, -6, dan -8 adalah faktor-faktor negatif dari 480, kita bisa pilih x=-10.

Periksa dulu apakah benar -10 merupakan akar/solusi dari x^4+22x^3+164x^2+488x+480=0. Jika bukan, kita pilih nilai lain.

\begin{aligned}&(x=\bf{-}10)\\&(-10)^4+22(-10)^3+164(-10)^2+488(-10)+480\\&=10000-22000+16400-4880+480\\&=-12000+16400-4400\\&=-12000+12000\\&=0\implies \textsf{$(x+10)$ adalah faktor}\end{aligned}

\begin{aligned}0&=x^4+22x^3+164x^2+488x+480\\&=(x+10)x^3+12x^3+164x^2+488x+480\\&=(x+10)\left(x^3+12x^2\right)+44x^2+488x+480\\&=(x+10)\left(x^3+12x^2+44x\right)+48x+480\\&=(x+10)\left(x^3+12x^2+44x+48\right)\end{aligned}

Faktor dari 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, dan 48. Karena x^3+12x^2+44x+48 berderajat 3 dan semua koefisien positif, maka 3 faktor lainnya berbentuk (x+a), (x+b), dan (x+c).
Jadi, kita bisa coba a=2, b=4, dan c=6, karena 2\times4\times6=48, juga karena pada proses penyelesaian di atas terdapat faktor-faktor (x+2), (x+4), dan (x+6) pada penyebut.

\begin{aligned}&\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\\&=x\left(x^2+6x+8\right)+6\left(x^2+6x+8\right)\\&=x^3+6x^2+8x+6x^2+36x+48\\&=x^3+12x^2+44x+48\end{aligned}

Benar bahwa (x+2), (x+4), dan (x+6) adalah 3 faktor lainnya. Dari ketiga faktor ini, x_1,x_2,x_3\: \in\: \{0,\,-2,\,-4,\,-6,\,-8\}, atau dengan kata lain ketiga nilai x membuat persamaan awal menjadi tak terdefinisi, sehingga ketiga nilai x tersebut BUKAN SOLUSI.

Oleh karena itu, nilai x real yang memenuhi adalah x=\bf2danx=\bf{-}10.
 

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, jumlah nilai x real yang memenuhi adalah:
\large\text{$\begin{aligned}2+(-10)=\boxed{\:\bf-8\:}\end{aligned}$}

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 20 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>