Jika (f o g)(x) = cos 2x dan g(x) =

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika (f o g)(x) = cos 2x dan g(x) = tan x tentukan fungsi f(x)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika (f o g)(x) = cos 2xdang(x) = tan x, maka:

$\boxed{\vphantom{\Big|}\,f(x)=\cos\left(2\arctan(x)\right)\,}$

atau dapat dinyatakan juga dengan

$\boxed{\vphantom{\Bigg|}\,f(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}\,}$
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui

$\begin{aligned}\bullet\ \ &(f\circ g)(x)=\cos 2x\\\bullet\ \ &g(x)=\tan x\end{aligned}$

Ditanyakan

$f(x) =\ ?$

Penyelesaian

Berdasarkan sifat identitas dan sifat asosiatif komposisi fungsi:

$\begin{aligned}f(x)&=f\left(I(x)\right)\\&=f\left(g\left(g^{-1}(x)\right)\right)\\&=\left(f\circ\left(g\circ g^{-1}\right)\right)(x)\\&=\left(\left(f\circ g\right)\circ g^{-1}\right)(x)\\f(x)&=\left(f\circ g\right)\left(g^{-1}(x)\right)\end{aligned}$

Maka:

$\begin{aligned}f(x)&=\left(f\circ g\right)\left(g^{-1}(x)\right)\\&=\cos\left(2\cdot g^{-1}(x)\right)\\&=\cos\left(2\tan^{-1}(x)\right)\\\therefore\ f(x)&=\boxed{\,\cos\left(2\arctan(x)\right)\,}\\\end{aligned}$

Untuk mendapatkan bentuk lain, dimisalkan $\arctan(x)=\alpha$ .

$\begin{aligned}&\tan \alpha=x=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\&\Rightarrow \sin\alpha=\cos\alpha\tan\alpha\\\end{aligned}$

Sehingga:

$\begin{aligned}f(x)&=\cos\left(2\arctan(x)\right)\\&=\cos2\alpha\\&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\&=\cos^2\alpha-\cos^2\alpha\tan^2\alpha\\&=\cos^2\alpha\left(1-\tan^2\alpha\right)\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{1-\tan^2\alpha}{\sec^2\alpha}\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}\\\therefore\ f(x)&=\boxed{\,\frac{1-x^2}{1+x^2}\,}\end{aligned}$