Dapatkan bentuk polar dan bentuk exponensial dari bilangan kompleks Z1

Berikut ini adalah pertanyaan dari abduldzikri79 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dapatkan bentuk polar dan bentuk exponensial dari bilangan kompleks Z1 = 3 − 8i dan Z2 = 2 − 2i. Terletak di kuadran berapa sudut bilangan kompleks tersebut!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terdapat dua bilangan kompleks: z₁ = 3-8i dan z₂ = 2-2i. Bentuk polardari kedua bilangan kompleks tersebut adalahz₁ = √73(cos 290,56°+i·sin 290,56°)danz₂ = √8(cos 315°+i·sin 315°), sedangkan bentuk eksponensialnya adalah z₁ = √73·exp(i·290,56°)danz₂ = √8·exp(i·315°). Sudut bilangan kompleks z₁ terletak di kuadran IV dan sudut bilangan kompleks z₂ terletak di kuadran IV juga.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui:

z₁ = 3-8i

z₂ = 2-2i

Ditanya: bentuk polar z₁ dan z₂, bentuk eksponensial z₁ dan z₂, dan kuadran terletaknya z₁ dan z₂

Jawab:

Untuk menentukan bentuk polar suatu bilangan kompleks, dibutuhkan nilai r dan θ. Dari z₁ dan z₂, didapat:

x₁ = 3
y₁ = -8
x₂ = 2
y₂ = -2

Dari nilai-nilai tersebut, dapat ditentukan bahwa sudut kedua bilangan kompleks terletak di kuadran IV (karena nilai x positif dan y negatif). Ingat bahwa:

Kuadran I: x positif dan y positif
Kuadran II: x negatif dan y positif
Kuadran III: x negatif dan y negatif
Kuadran IV: x positif dan y negatif

Mari hitung nilai modulus dari kedua bilangan kompleks.

$r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{3^2+(-8)^2}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}$
$r_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$

Lalu, tentukan nilai sudut bilangan kompleksnya.

$\text{tan }\theta_1=\frac{y_1}{x_1}=\frac{-8}{3}\Rightarrow\theta_1=\text{tan}^{-1}(\frac{-8}{3})\approx290,56^\text{o}\text{ (Kuadran IV)}$
$\text{tan }\theta_2=\frac{y_2}{x_2}=\frac{-2}{2}=-1\Rightarrow\theta_2=\text{tan}^{-1}(-1)=315^\text{o}\text{ (Kuadran IV)}$