buktikan rumus luas permukaan kerucut terpancung dengan panjang jari-jari yang

Berikut ini adalah pertanyaan dari irsyadnurrohmapcz6u3 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

buktikan rumus luas permukaan kerucut terpancung dengan panjang jari-jari yang besar R cm, jari-jari yang kecil r cm,dan ketinggian t cm!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Luas permukaan kerucut terpancung dengan panjang jari jari kecil r cm, panjang jari jari besar R cm dan tinggi t adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\pi\left [ r^2+R^2+\left ( R+r \right )\sqrt{t^2+(R-r)^2} \right ]~cm^2} }$ .

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

$\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx}$

Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung luas permukaan benda putar.

1. Jika diputar terhadap sumbu x : $\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{x_2}_{x_1} {y\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}} \, dx }$

2. Jika diputar terhadap sumbu y : $\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{y_2}_{y_1} {x\sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^2}} \, dy }$

DIKETAHUI

Kerucut terpancung :

Panjang jari jari kecil = r.

Panjang jari jari besar = R.

Tinggi kerucut = t.

DITANYA

Tentukan luas permukaan kerucut terpancung.

PENYELESAIAN

Bangun kerucut terpancung dapat kita peroleh dengan memutar suatu persamaan garis sebesar 360⁰ terhadap sumbu x. Kita asumsikan persamaan garis tersebut melalui titik (0,r) dan (t,R) (lihat gambar).

Persamaan garisnya :

$\displaystyle{\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}$

$\displaystyle{\frac{y-r}{R-r}=\frac{x-0}{t-0}}$

$\displaystyle{y-r=\frac{(R-r)}{t}x}$

$\displaystyle{y=\frac{(R-r)}{t}x+r}$

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{(R-r)}{t}}$

Jika persamaan garis y dengan batas dari x = 0 sampai x = t kita putar terhadap sumbu x akan menghasilkan kerucut terpancung dengan jari jari kecil = r, jari jari besar = R, dan tinggi = t.

Luas permukaan kerucut tepancung = Luas alas + luas tutup + luas selimut. Luas selimut dapat kita cari dengan integral.

$\displaystyle{A_s=\int\limits^{x_2}_{x_1} {y\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}} \, dx }$

$\displaystyle{A_s=2\pi\int\limits^t_0 {\left [ \frac{(R-r)}{t}x+r \right ]\sqrt{1+\left [ \frac{(R-r)}{t} \right ]^2}} \, dx }$

$\displaystyle{A_s=2\pi\int\limits^t_0 {\left [ \frac{(R-r)}{t}x+r \right ]\sqrt{\frac{t^2+(R-r)^2}{t^2}}} \, dx }$

$\displaystyle{A_s=2\pi\int\limits^t_0 {\left [ \frac{(R-r)}{t}x+r \right ]\frac{\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}} \, dx }$

$\displaystyle{A_s=\frac{2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}\int\limits^t_0 {\left [ \frac{(R-r)}{t}x+r \right ]} \, dx }$

$\displaystyle{A_s=\frac{2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}\left [ \frac{(R-r)}{2t}x^2+rx \right ]\Bigr|^t_0 }$

$\displaystyle{A_s=\frac{2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}\left [ \frac{(R-r)}{2t}(t)^2+r(t)-\left ( \frac{(R-r)}{2t}(0)^2+r(0) \right ) \right ] }$

$\displaystyle{A_s=\frac{2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}\left [ \frac{(R-r)}{2}t+tr \right ] }$

$\displaystyle{A_s=2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}\left [ \frac{R}{2}-\frac{r}{2}+r \right ] }$

$\displaystyle{A_s=2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}\left ( \frac{R}{2}+\frac{r}{2} \right ) }$

$\displaystyle{A_s=\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}\left ( R+r \right ) }$

Maka luas permukaannya :

$A=luas~alas+luas~tutup+luas~selimut$

$\displaystyle{A=\pi r^2+\pi R^2+\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}\left ( R+r \right ) }$

$\displaystyle{A=\pi\left [ r^2+R^2+\left ( R+r \right )\sqrt{t^2+(R-r)^2} \right ] }$

KESIMPULAN

PELAJARI LEBIH LANJUT

Mencari luas permukaan benda putar : yomemimo.com/tugas/49880198
Mencari luas permukaan sikloda : yomemimo.com/tugas/36981610
Mencari titik berat kurva : yomemimo.com/tugas/47427349

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral

Kode Kategorisasi: 11.2.10

$Luas permukaan kerucut terpancung dengan panjang jari jari kecil r cm, panjang jari jari besar R cm dan tinggi t adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\pi\left [ r^2+R^2+\left ( R+r \right )\sqrt{t^2+(R-r)^2} \right ]~cm^2} }[/tex].PEMBAHASANIntegral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.[tex]\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx}[/tex]Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung luas permukaan benda putar.1. Jika diputar terhadap sumbu x : [tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{x_2}_{x_1} {y\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}} \, dx }[/tex]2. Jika diputar terhadap sumbu y : [tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{y_2}_{y_1} {x\sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^2}} \, dy }[/tex].DIKETAHUIKerucut terpancung :Panjang jari jari kecil = r.Panjang jari jari besar = R.Tinggi kerucut = t..DITANYATentukan luas permukaan kerucut terpancung..PENYELESAIANBangun kerucut terpancung dapat kita peroleh dengan memutar suatu persamaan garis sebesar 360⁰ terhadap sumbu x. Kita asumsikan persamaan garis tersebut melalui titik (0,r) dan (t,R) (lihat gambar).Persamaan garisnya :[tex]\displaystyle{\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}[/tex][tex]\displaystyle{\frac{y-r}{R-r}=\frac{x-0}{t-0}}[/tex][tex]\displaystyle{y-r=\frac{(R-r)}{t}x}[/tex][tex]\displaystyle{y=\frac{(R-r)}{t}x+r}[/tex][tex]\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{(R-r)}{t}}[/tex]Jika persamaan garis y dengan batas dari x = 0 sampai x = t kita putar terhadap sumbu x akan menghasilkan kerucut terpancung dengan jari jari kecil = r, jari jari besar = R, dan tinggi = t..Luas permukaan kerucut tepancung = Luas alas + luas tutup + luas selimut. Luas selimut dapat kita cari dengan integral.[tex]\displaystyle{A_s=\int\limits^{x_2}_{x_1} {y\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}} \, dx }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=2\pi\int\limits^t_0 {\left [ \frac{(R-r)}{t}x+r \right ]\sqrt{1+\left [ \frac{(R-r)}{t} \right ]^2}} \, dx }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=2\pi\int\limits^t_0 {\left [ \frac{(R-r)}{t}x+r \right ]\sqrt{\frac{t^2+(R-r)^2}{t^2}}} \, dx }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=2\pi\int\limits^t_0 {\left [ \frac{(R-r)}{t}x+r \right ]\frac{\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}} \, dx }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=\frac{2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}\int\limits^t_0 {\left [ \frac{(R-r)}{t}x+r \right ]} \, dx }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=\frac{2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}\left [ \frac{(R-r)}{2t}x^2+rx \right ]\Bigr|^t_0 }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=\frac{2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}\left [ \frac{(R-r)}{2t}(t)^2+r(t)-\left ( \frac{(R-r)}{2t}(0)^2+r(0) \right ) \right ] }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=\frac{2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}\left [ \frac{(R-r)}{2}t+tr \right ] }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=\frac{2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}}{t}\left [ \frac{(R-r)}{2}t+tr \right ] }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}\left [ \frac{R}{2}-\frac{r}{2}+r \right ] }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=2\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}\left ( \frac{R}{2}+\frac{r}{2} \right ) }[/tex][tex]\displaystyle{A_s=\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}\left ( R+r \right ) }[/tex].Maka luas permukaannya :[tex]A=luas~alas+luas~tutup+luas~selimut[/tex][tex]\displaystyle{A=\pi r^2+\pi R^2+\pi\sqrt{t^2+(R-r)^2}\left ( R+r \right ) }[/tex][tex]\displaystyle{A=\pi\left [ r^2+R^2+\left ( R+r \right )\sqrt{t^2+(R-r)^2} \right ] }[/tex].KESIMPULANLuas permukaan kerucut terpancung dengan panjang jari jari kecil r cm, panjang jari jari besar R cm dan tinggi t adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\pi\left [ r^2+R^2+\left ( R+r \right )\sqrt{t^2+(R-r)^2} \right ]~cm^2} }[/tex]..PELAJARI LEBIH LANJUTMencari luas permukaan benda putar : https://brainly.co.id/tugas/49880198Mencari luas permukaan sikloda : https://brainly.co.id/tugas/36981610Mencari titik berat kurva : https://brainly.co.id/tugas/47427349.DETAIL JAWABANKelas : 11Mapel: MatematikaBab : IntegralKode Kategorisasi: 11.2.10$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 04 Sep 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah