Jawaban:

Ya!  [a+b, b+c, c+a] bebas linier.

Penjelasan:

Untuk membuktikan apakah [a+b, b+c, c+a] bebas linier atau tidak, kita perlu menguji apakah terdapat solusi-solusi khusus yang membuat vektor-vektor tersebut linier tergantung.

Jika kita mencoba menyusun persamaan linear dengan koefisien vektor-vektor [a,b,c] sebagai variabel-variabel tidak terikat, kita akan mendapatkan persamaan-persamaan seperti ini:

ka + lb + mc = 0

kb + lc + ma = 0

kc + la + mb = 0

Untuk membuktikan bahwa [a+b, b+c, c+a] bebas linier, kita harus membuktikan bahwa tidak ada solusi-solusi khusus yang membuat persamaan-persamaan tersebut terpenuhi. Untuk melakukan ini, kita bisa mencoba mencari solusi-solusi umum untuk persamaan-persamaan tersebut.

Jika kita menyelesaikan sistem persamaan-persamaan tersebut, kita akan mendapatkan solusi-solusi seperti ini:

k = 1, l = -1, m = 0

k = 0, l = 1, m = -1

Ini menunjukkan bahwa tidak ada solusi-solusi khusus yang membuat vektor-vektor [a+b, b+c, c+a] linier tergantung, sehingga vektor-vektor tersebut bebas linier.

Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa [a+b, b+c, c+a] bebas linier.