Jawaban:

Untuk membuktikan bahwa 2 + 4 + 6 + … + 2n = n2 + n berlaku untuk semua n bilangan asli, Anda dapat menggunakan teknik induksi matematika. Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan yang benar untuk semua bilangan asli.

Langkah-langkah dalam membuktikan suatu pernyataan menggunakan induksi matematika adalah sebagai berikut:

Tentukan hipotesis dasar (n = 1). Pernyataan yang akan dibuktikan adalah 2 + 4 + 6 + … + 2n = n2 + n. Untuk n = 1, maka pernyataan tersebut menjadi: 2 = 1 + 1, yang merupakan pernyataan yang benar.

Tentukan hipotesis induksi (n = k). Pernyataan yang akan dibuktikan adalah 2 + 4 + 6 + … + 2n = n2 + n. Untuk n = k, maka pernyataan tersebut menjadi: 2 + 4 + 6 + … + 2k = k2 + k.

Tentukan hipotesis induksi yang lebih umum (n = k + 1). Pernyataan yang akan dibuktikan adalah 2 + 4 + 6 + … + 2n = n2 + n. Untuk n = k + 1, maka pernyataan tersebut menjadi: 2 + 4 + 6 + … + 2(k+1) = (k+1)2 + (k+1).

Buktikan bahwa hipotesis induksi yang lebih umum (n = k + 1) merupakan konsekuensi dari hipotesis induksi (n = k). Ini bisa dilakukan dengan menunjukkan bahwa jika hipotesis induksi (n = k) benar, maka hipotesis induksi yang lebih umum (n = k + 1) juga benar.

Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kita dapat membuktikan bahwa 2 + 4 + 6 + … + 2n = n2 + n berlaku untuk semua n bilangan asli dengan cara sebagai berikut:

Hipotesis dasar (n = 1): 2 = 1 + 1 (benar)

Hipotesis induksi (n = k): 2 + 4 + 6 + … + 2k = k2 + k (asumsi)