Diketahui bahwa panjang diagonal ruang balok adalah 3√29. Kita dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang, lebar, dan tinggi balok.

Misalkan panjang balok adalah 4x, lebar balok adalah 2x, dan tinggi balok adalah 3x.

Maka diagonal ruang dapat dicari dengan rumus:

√(panjang² + lebar² + tinggi²) = 3√29

Substitusikan dengan nilai panjang, lebar, dan tinggi yang sudah ditentukan:

√((4x)² + (2x)² + (3x)²) = 3√29

√(16x² + 4x² + 9x²) = 3√29

√(29x²) = 3√29

29x² = 9(29)

x² = 9

x = 3

Maka panjang balok adalah 4x = 12 cm, lebar balok adalah 2x = 6 cm, dan tinggi balok adalah 3x = 9 cm.

Untuk mencari luas permukaan balok, kita dapat menggunakan rumus:

Luas permukaan = 2 × (panjang × lebar + panjang × tinggi + lebar × tinggi)

Substitusikan dengan nilai yang sudah diketahui:

Luas permukaan = 2 × (12 × 6 + 12 × 9 + 6 × 9)

Luas permukaan = 2 × (72 + 108 + 54)

Luas permukaan = 2 × 234

Luas permukaan = 468 cm²

Jadi, jawaban dari soal tersebut adalah:

A. Ukuran panjang = 12 cm, lebar = 6 cm, dan tinggi = 9 cm

B. Luas permukaan balok = 468 cm²