Volume benda putar yang terbentuk karena daerah dibatasi y = 9 – x² dan y = x + 7 diputar 360⁰ mengelilingi sumbu x adalah 66\frac{3}{5} \pi66

5

3

π satuan volum. Hasil tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus integral. Rumus dasar:

∫ kxⁿ dx = \frac{k}{n + 1} x^{n + 1}

n+1

k

x

n+1

+ C, dengan n ≠ –1

Bentuk umum integral tentu

ₐ∫ᵇ f’(x) dx = f(x) ₐ|ᵇ = f(b) – f(a)

Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva pada interval a ≤ x ≤ b yaitu

V = \pi \int \limits_{a} \limits^{b} {(f^{2}(x) - g^{2}(x))} \: dxπ

a

∫

b

(f

2

(x)−g

2

(x))dx

dengan

f(x) = kurva yang lebih jauh dengan sumbu x

f(x) = kurva yang lebih dekat dengan sumbu x

Pembahasan

Sebelumnya kita gambar dulu kedua kurva pada koordinat kartesius yaitu

Menggambar y = 9 – x²

kurva terbuka ke bawah karena koefisien x² bernilai negatif

Titik potong terhadap sumbu x (y = 0):

0 = 9 – x²

x² = 9

x = ±3

x = –3 atau x = 3

(–3, 0) dan (3, 0)

Titik potong terhadap sumbu y (x = 0):

y = 9 – 0²

y = 9

(0, 9)

Menggambar y = x + 7

Titik potong terhadap sumbu x (y = 0):

x + 7 = 0

x = –7

(–7, 0)

Titik potong terhadap sumbu y (x = 0):

y = 0 + 7

y = 7

(0, 7)

Hubungkan dua titik tersebut sehingga membentuk garis lurus

Titik potong y = 9 – x² dan y = x + 7

y = 9 – x²

x + 7 = 9 – x²

x² + x + 7 – 9 = 0

x² + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

(x + 2) = 0 atau (x – 1) = 0

x = –2 atau x = 1

Setelah kita gambar, maka

f(x) = 9 – x²

g(x) = x + 7

Batas kurva terletak pada interval: –2 ≤ x ≤ 1

Jadi volume benda putar tersebut adalah

V = \pi \int \limits_{-2} \limits^{1} {((9 - x^{2})^{2} - (x + 7)^{2})} \: dxπ

−2

∫

1

((9−x

2

)

2

−(x+7)

2

)dx

V = \pi \int \limits_{-2} \limits^{1} {((81 - 18x^{2} + x^{4}) - (x^{2} + 14x + 49))} \: dxπ

−2

∫

1

((81−18x

2

+x

4

)−(x

2

+14x+49))dx

V = \pi \int \limits_{-2} \limits^{1} {(81 - 18x^{2} + x^{4} - x^{2} - 14x - 49)} \: dxπ

−2

∫

1

(81−18x

2

+x

4

−x

2

−14x−49)dx

V = \pi \int \limits_{-2} \limits^{1} {(x^{4} - 19x^{2} - 14x + 32)} \: dxπ

−2

∫

1

(x

4

−19x

2

−14x+32)dx

V = {( \frac{1}{5}x^{5} - \frac{19}{3}x^{3} - \frac{14}{2}x^{2} + 32x)} | \limits_{-2} \limits^{1} \: \pi

V = {( \frac{1}{5}x^{5} - \frac{19}{3}x^{3} - 7x^{2} + 32x)} | \limits_{-2} \limits^{1} \: \pi

V = ((\frac{1}{5}(1)^{5} - \frac{19}{3}(1)^{3} - 7(1)^{2} + 32(1)) - (\frac{1}{5}(-2)^{5} - \frac{19}{3}(-2)^{3} - 7(-2)^{2} + 32(-2))) \: \pi((

5

1

(1)

5

−

3

19

(1)

3

−7(1)

2

+32(1))−(

5

1

(−2)

5

−

3

19

(−2)

3

−7(−2)

2

+32(−2)))π

V = ((\frac{1}{5}(1) - \frac{19}{3}(1) - 7(1) + 32) - (\frac{1}{5}(-32) - \frac{19}{3}(-8) - 7(4) - 64)) \: \pi((

5

1

(1)−

3

19

(1)−7(1)+32)−(

5

1

(−32)−

3

19

(−8)−7(4)−64))π

V = ((\frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32) - (-\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 - 64)) \: \pi((

5

1

−

3

19

−7+32)−(−

5

32

+

3

152

−28−64))π

V = ((\frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25) - (-\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 92)) \: \pi((

5

1

−

3

19

+25)−(−

5

32

+

3

152

−92))π

V = (\frac{1}{5} - \frac{19}{3} + 25 + \frac{32}{5} - \frac{152}{3} + 92) \: \pi(

5

1

−

3

19

+25+

5

32

−

3

152

+92)π

V = (\frac{33}{5} - \frac{171}{3} + 117) \: \pi(

5

33

−

3

171

+117)π

V = (6\frac{3}{5} - 57 + 117) \: \pi(6

5

3

−57+117)π

V = (6\frac{3}{5} + 60) \: \pi(6

5

3

+60)π

V = 66\frac{3}{5} \: \pi66

5

3

π

penjelasan:

maaf kalo salah