Penjelasan:

Kita dapat menentukan nilai setiap suku dalam barisan (an) secara berurutan:

a₁ = 4

a₂ = (S(a₁))² - 1 = (4)² - 1 = 15

a₃ = (S(a₂))² - 1 = (1+5)² - 1 = 31

a₄ = (S(a₃))² - 1 = (3+1)² - 1 = 9

a₅ = (S(a₄))² - 1 = (9)² - 1 = 80

a₆ = (S(a₅))² - 1 = (8+0)² - 1 = 63

a₇ = (S(a₆))² - 1 = (6+3)² - 1 = 360

a₈ = (S(a₇))² - 1 = (3+6+0)² - 1 = 396

a₉ = (S(a₈))² - 1 = (3+9+6)² - 1 = 1763

dan seterusnya

Untuk menentukan sisa pembagian a₁ + a₂ + ... + a2022 oleh 21, kita perlu mengetahui sisa pembagian masing-masing suku dalam barisan (an) oleh 21, dan kemudian menjumlahkannya.

Dari daftar suku (an) di atas, kita dapat memperhatikan bahwa pola suku tersebut mengulang setiap 6 suku, yaitu 4, 15, 31, 9, 80, 63. Oleh karena itu, kita dapat menghitung sisa pembagian suku ke-n dengan membagi n dengan 6 dan melihat sisa pembagiannya. Berikut adalah tabel sisa pembagian suku (an) oleh 21:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

an 4 15 31 9 80 63 360 396 1763 ...

mod 4 15 10 9 14 0 6 0 2 ...

Dalam tabel di atas, "mod" menunjukkan sisa pembagian suku ke-n oleh 21.

Kita dapat menjumlahkan sisa pembagian suku-suku tersebut untuk mendapatkan sisa pembagian a₁ + a₂ + ... + a2022 oleh 21:

(4 + 15 + 10 + 9 + 14 + 0) + (6 x 360) + (2 x 1763) = 4524

Maka sisa pembagian a₁ + a₂ + ... + a2022 oleh 21 adalah 4524 dibagi 21 sama dengan 0. Sehingga, jawabannya adalah 0.