Nomor 1

1. p ∨ q
2. q ∧ ~r
3. (p ∨ q) ∨ (~q ∨ ~r)
4. ~(r ∨ p)  atau  ~(p ∨ r)
   Bentuk lain yang ekuivalen: ~p ∧ ~r
5. ~[(q ∨ r) ∧ ~p]
   Bentuk lain yang ekuivalen: ~(q ∨ r) ∨ p

Nomor 2

1. Hari ini adalah hari Minggu dan tidak terjadi hujan.
2. Hari ini bukan hari Minggu dan tidak terjadi hujan.
3. Hari ini adalah hari Minggu, hujan turun, dan tidak panas.
4. Tidak benar bahwa hari ini adalah hari Minggu atau hujan turun, tetapi hari ini panas.
5. Hari ini adalah hari Minggu dan hujan turun, atau hari ini adalah hari Minggu atau tidak terjadi hujan hari ini.
   Bentuk lain yang ekuivalen (bentuk sederhana):
   Hari ini adalah hari Minggu atau hari ini tidak panas.

_______________

Pembahasan

Nomor 1

• p : Iwan bisa berbahasa Jawa.
• q : Iwan bisa berbahasa Indonesia.
• r : Iwan bisa berbahasa Mandarin.

Kalimat 1: Iwan bisa berbahasa Jawa atau Indonesia.

Dijabarkan menjadi:

• Iwan bisa berbahasa Jawa (p),
• atau (∨)
• Iwan bisa berbahasa Indonesia (q).

⇒ Notasi simbolik: p ∨ q

_______________
Kalimat 2: Iwan bisa berbahasa Indonesia tetapi tidak bahasa Mandarin.

Dijabarkan menjadi:

• Iwan bisa berbahasa Indonesia (q),
• tetapi = dan (∧)
• Iwan tidak bisa berbahasa Mandarin (~r).

⇒ Notasi simbolik: q ∧ ~r

_______________
Kalimat 3: Iwan bisa bahasa Jawa atau bahasa Indonesia atau dia tidak bisa bahasa Mandarin atau bahasa Indonesia.

• Subkalimat 1: Iwan bisa bahasa Jawa atau bahasa Indonesia.
  Seperti nomor 1.1. di atas.
  ⇒ Notasi simbolik: p ∨ q
• Subkalimat 2: Iwan tidak bisa bahasa Mandarin atau bahasa Indonesia.
  Dijabarkan menjadi:
  - Iwan tidak bisa berbahasa Mandarin (~r),
  - atau (∨)
  - Iwan tidak bisa berbahasa Indonesia (~q).
  ⇒ Notasi simbolik: ~r ∨ ~q  atau  ~q ∨ ~r  (sifat komutatif)

Kedua subkalimat dihubungkan dengan kata hubung “atau”. Maka:
⇒ Notasi simbolik: (p ∨ q) ∨ (~q ∨ ~r)

_______________
Kalimat 4: Tidak benar bahwa Iwan bisa berbahasa Mandarin atau Jawa.

Bagian kalimat yang dinegasikan/diingkari adalah “Iwan bisa berbahasa Mandarin atau Jawa”.

Penjabarannya:

• Iwan bisa berbahasa Mandarin (r),
• atau (∨)
• Iwan bisa berbahasa Jawa (p).

⇒ Notasi simbolik: r ∨ p

Kemudian dinegasikan. Maka:
⇒ Notasi simbolik: ~(r ∨ p)  atau  ~(p ∨ r)
⇒ Dapat pula ditulis dengan: ~p ∧ ~r (hukum DeMorgan)

_______________
Kalimat 5: Tidak benar bahwa Iwan bisa berbahasa Indonesia atau Mandarin tetapi tidak bisa Jawa.

Pada kalimat ini, tidak ada tanda koma sebelum kata “tetapi”. Maka, kata “tidak” pada awal kalimat tidak berpasangan dengan kata “tetapi”, dengan kata lain, “tidak benar bahwa” pada awal kalimat menegasikan/mengingkari pernyataan “Iwan bisa berbahasa Indonesia atau Mandarin tetapi tidak bisa Jawa.”

• Iwan bisa berbahasa Indonesia (q),
• atau (∨),
• Iwan bisa berbahasa Mandarin (r),
• tetapi = dan (∧),
• Iwan tidak bisa berbahasa Jawa (~p).

Notasi simboliknya adalah (q ∨ r) ∧ ~p. Kemudian, dinegasikan. Maka:
⇒ Notasi simbolik: ~[(q ∨ r) ∧ ~p]
⇒ Atau ekuivalen dengan: ~(q ∨ r) ∨ p  (hukum DeMorgan dan negasi ganda)

___________________

Nomor 2

• p : Hari ini adalah hari Minggu.
  ⇒ ~p : Hari ini bukan hari Minggu.
• q : Hujan turun.
  ⇒ ~q : Hujan tidak turun.  (atau ”Tidak terjadi hujan.“)
• r : Hari ini panas
  ⇒ ~r : Hari ini tidak panas.

Notasi simbolik 1: p ∧ ~q
⇒ Terjemahan: Hari ini adalah hari Minggu dan tidak terjadi hujan.

___________________
Notasi simbolik 2: ~p ∧ ~q
⇒ Terjemahan: Hari ini bukan hari Minggu dan tidak terjadi hujan.

___________________
Notasi simbolik 3: p ∧ q ∧ ~r
⇒ Terjemahan: Hari ini adalah hari Minggu, hujan turun, dan tidak panas.

___________________
Notasi simbolik 4: ~(p ∨ q) ∧ r
⇒ Terjemahan: Tidak benar bahwa hari ini adalah hari Minggu atau hujan turun, tetapi hari ini panas.  
(tanda koma sebelum ”tetapi“ harus ada)

___________________
Notasi simbolik 5: (p ∧ q) ∨ (~r ∨ p)

Kita urutkan saja menjadi: (p ∧ q) ∨ (p ∨ ~r)
⇒ Terjemahan: Hari ini adalah hari Minggu dan hujan turun, atau hari ini adalah hari Minggu atau tidak terjadi hujan hari ini.
(tanda koma sebelum ”atau“ harus ada)

Membingungkan? Betul membingungkan. Jika disederhanakan, bisa jadi tidak membingungkan,

(p ∧ q) ∨ (p ∨ ~r)
→ asosiatif
≡ (p ∧ q) ∨ p ∨ ~r
→ komutatif dan asosiatif
≡ (p ∨ (p ∧ q)) ∨ ~r
→ hukum penyerapan a ∨ (a ∧ b) ≡ a
≡ p ∨ ~r

Jadi, bentuk sederhana yang ekuivalen dari kalimat terjemahan di atas adalah:
Hari ini adalah hari Minggu atau hari ini tidak panas.
(Ekuivalen pula dengan implikasi: Jika hari ini bukan hari Minggu, maka hari ini tidak panas.)