Jawaban dan Penjelasan:

Nomor 1

Contoh pernyataan disjungsi

• p : Hari ini adalah hari Kamis.
• q : Esok hari adalah hari Jumat.
• ~p : Hari ini bukan hari Kamis.
• ~q : Esok hari bukan hari Jumat

Disjungsi:

• p ∨ q : Hari ini adalah hari Kamis, atau esok hari adalah hari Jumat.
• p ∨ ~q : Hari ini adalah hari Kamis, atau esok hari bukan hari Jumat.
• ~p ∨ q : Hari ini bukan hari Kamis, atau esok hari adalah hari Jumat.
• ~p ∨ ~q : Hari ini bukan hari Kamis, atau esok hari bukan hari Jumat.

Nomor 2

• p : Tiga adalah bilangan ganjil.
• q : Dua adalah satu-satunya bilangan prima yang genap.
• ~p : Tiga bukan bilangan ganjil.
• ~q : Dua bukan satu-satunya bilangan prima yang genap.

Implikasi:

• p ⇒ q : Jika tiga adalah bilangan ganjil, maka dua adalah satu-satunya bilangan prima yang genap.
• p ⇒ ~q : Jika tiga adalah bilangan ganjil, maka dua bukan satu-satunya bilangan prima yang genap.
• ~p ⇒ q : Jika tiga bukan bilangan ganjil, maka dua adalah satu-satunya bilangan prima yang genap.
• ~p ⇒ ~q : Jika tiga bukan bilangan ganjil, maka dua bukan satu-satunya bilangan prima yang genap.

__________________

Contoh pada nomor 1 dan 2 di atas tidak saling berhubungan. Kita dapat menggunakan p dan q yang sama untuk kedua soal tersebut, sehingga hubungan antara disjungsi dan implikasi dapat lebih diperjelas.

Misalkan kita ambil contoh dari nomor 1.

• p : Hari ini adalah hari Kamis.
• q : Esok hari adalah hari Jumat.
• ~p : Hari ini bukan hari Kamis.
• ~q : Esok hari bukan hari Jumat.

Disjungsi:

• p ∨ q : Hari ini adalah hari Kamis, atau esok hari adalah hari Jumat.
• p ∨ ~q : Hari ini adalah hari Kamis, atau esok hari bukan hari Jumat.
• ~p ∨ q : Hari ini bukan hari Kamis, atau esok hari adalah hari Jumat.
• ~p ∨ ~q : Hari ini bukan hari Kamis, atau esok hari bukan hari Jumat.

Implikasi:

• p ⇒ q : Jika hari ini adalah hari Kamis, maka esok hari adalah hari Jumat.
• p ⇒ ~q : Jika hari ini adalah hari Kamis, maka esok hari bukan hari Jumat.
• ~p ⇒ q : Jika hari ini bukan hari Kamis, maka esok hari adalah hari Jumat.
• ~p ⇒ ~q : Jika hari ini bukan hari Kamis, maka esok hari bukan hari Jumat.

Kita perhatikan pernyataan disjungsi ~p ∨ qdan pernyataan implikasip ⇒ q.

Pernyataan disjungsi “Hari ini bukan hari Kamis, atau esok hari adalah hari Jumat.”memilikiesensi arti yang samadengan pernyataan implikasi“Jika hari ini adalah hari Kamis, maka esok hari adalah hari Jumat.”

Oleh karena itu, ~p ∨ q ekuivalen dengan p ⇒ q, yang dinyatakan dengan:
~p ∨ q  ≡  p ⇒ q, atau sebaliknya: p ⇒ q  ≡  ~p ∨ q.
Hal ini sesuai dengan hukum implikasi pada logika matematika / logika informatika.

Kita perhatikan lagi pernyataan disjungsi p ∨ ~qdan pernyataan implikasi~p ⇒ ~q.

Pernyataan disjungsi “Hari ini adalah hari Kamis, atau esok hari bukan hari Jumat.”memilikiesensi arti yang samadengan pernyataan implikasi“Jika hari ini bukan hari Kamis, maka esok hari bukan hari Jumat.”

Oleh karena itu, p ∨ ~q ekuivalen dengan ~p ⇒ ~q, yang dinyatakan dengan:
p ∨ ~q  ≡  ~p ⇒ ~q, atau sebaliknya: ~p ⇒ ~q  ≡  p ∨ ~q.

Dari hukum implikasi di atas, yaitu p ⇒ q  ≡  ~p ∨ q, dapat kita peroleh:
~p ⇒ ~q  ≡  ~(~p) ∨ ~q

Seperti pada matematika: –(–x) = x, maka ~(~p)  ≡  p, yang merupakan hukum negasi ganda pada logika matematika / logika informatika, sehingga:
~p ⇒ ~q  ≡  ~(~p) ∨ ~q   ≡  p ∨ ~q