Langkah pertama dalam metode eliminasi Gauss adalah mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk matriks augmented. Berikut adalah bentuk matriks augmented dari sistem persamaan linear yang diberikan:

[1 -1 2 -1 | -1]

[2 1 -2 -2 | 0]

[-1 2 -4 1 | 2]

[3 0 0 -3 | 3]

Selanjutnya, kita akan melakukan operasi baris untuk mengeliminasi elemen-elemen di bawah diagonal utama:

[1 -1 2 -1 | -1]

[0 3 -6 0 | 2]

[0 1 -2 0 | 1]

[0 3 -6 0 | 6]

Operasi baris pertama kita lakukan dengan mengalikan baris pertama dengan 2 dan menambahkannya pada baris kedua. Kemudian, operasi baris kedua kita lakukan dengan menukar baris kedua dan ketiga. Operasi baris ketiga kita lakukan dengan mengalikan baris kedua dengan -1 dan menambahkannya pada baris ketiga. Operasi baris keempat kita lakukan dengan mengalikan baris kedua dengan -1 dan menambahkannya pada baris keempat.

Setelah semua elemen di bawah diagonal utama menjadi nol, sistem persamaan linear kita menjadi:

[1 -1 2 -1 | -1]

[0 3 -6 0 | 2]

[0 0 0 -2 | -1]

[0 0 0 -6 | 4]

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear dengan cara menyusun persamaan-persamaan dari matriks augmented yang telah dieliminasi:

x - y + 2z - w = -1 ------------ (1)

3y - 6z = 2 ------------ (2)

-2w = -1 ------------ (3)

-6w = 4 ------------ (4)

Dari persamaan (3) dan (4), kita dapatkan nilai w = 1/2. Kemudian, kita substitusikan w = 1/2 ke dalam persamaan (2) dan kita dapatkan nilai z = -1/2. Selanjutnya, kita substitusikan z = -1/2 dan w = 1/2 ke dalam persamaan (1) dan kita dapatkan nilai x = 0 dan y = -1/2.

Sehingga, solusi dari sistem persamaan linear adalah:

x = 0

y = -1/2

z = -1/2

w = 1/2