Jawaban:

(a) Dari kedua tabel tersebut, aksioma dasar komutatif dan identitas dipenuhi oleh kedua operator. Komutatif berarti urutan operand tidak mempengaruhi hasil operasi, sedangkan identitas berarti ada sebuah elemen dalam himpunan yang tidak mengubah nilai saat dioperasikan dengan elemen lain menggunakan operator yang sama.

Untuk operator +, elemen identitasnya adalah 0, karena a + 0 = a untuk setiap a dalam himpunan B. Sedangkan untuk operator *, elemen identitasnya adalah 1, karena a * 1 = a untuk setiap a dalam himpunan B.

---

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlu melihat setiap aksioma dasar secara terpisah.

Aksioma Komutatif

Aksioma ini menyatakan bahwa urutan operand tidak mempengaruhi hasil dari suatu operasi. Dalam kasus ini, kita memiliki:

a. Operator +

0 + 1 = 1 + 0 = 1

0 + 2 = 2 + 0 = 2

1 + 2 = 2 + 1 = 0 (karena kita memiliki himpunan B dengan 3 buah nilai)

b. Operator *

0 * 1 = 1 * 0 = 0

0 * 2 = 2 * 0 = 0

1 * 2 = 2 * 1 = 2

Dapat dilihat bahwa kedua operator memenuhi aksioma komutatif.

Aksioma Asosiatif

Aksioma ini menyatakan bahwa urutan pengelompokkan operand tidak mempengaruhi hasil dari suatu operasi. Dalam kasus ini, kita memiliki:

a. Operator +

(0 + 1) + 2 = 0 + (1 + 2) = 2

0 + (1 + 2) = (0 + 1) + 2 = 2

b. Operator *

(0 * 1) * 2 = 0 * (1 * 2) = 0

0 * (1 * 2) = (0 * 1) * 2 = 0

Dapat dilihat bahwa kedua operator memenuhi aksioma asosiatif.

Aksioma Identitas

Aksioma ini menyatakan bahwa suatu operasi dengan operand tertentu akan menghasilkan nilai identitas (nilai yang tidak mempengaruhi hasil operasi tersebut). Dalam kasus ini, kita memiliki:

a. Operator +

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 (nilai identitas: 1)

0 + 2 = 2

2 + 0 = 2 (nilai identitas: 2)

b. Operator *

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0 (nilai identitas: 0)

1 * 2 = 2

2 * 1 = 2 (nilai identitas: 2)

Dapat dilihat bahwa elemen identitas untuk operator + adalah 1, dan elemen identitas untuk operator * adalah 0.

Aksioma Komplemen

Aksioma ini menyatakan bahwa setiap elemen memiliki elemen komplemen yang menghasilkan nilai identitas saat dioperasikan dengan elemen tersebut. Dalam kasus ini, kita memiliki:

a. Operator +

0 + 1 = 1

1 + 2 = 0

2 + 0 = 2 (nilai identitas)

1 + 0 = 1

2 + 1 = 0

0 + 2 = 2 (nilai identitas)

Tidak ada elemen pada operator + yang memiliki elemen komplemen.

b. Operator *

0 * 1 = 0

1 * 2 = 0

2 * 0 = 0 (nilai identitas)

1 * 0 = 0

2 * 1 = 2

0 * 2 = 0 (nilai identitas)

Dapat dilihat bahwa hanya elemen 2 pada operator * yang memiliki elemen komplemen, yaitu 1.

Jadi, dari empat aksioma dasar yang diperiksa, kedua operator + dan * memenuhi aksioma komutatif, asosiatif, dan identitas. Namun, hanya operator * yang memiliki elemen komplemen, sedangkan operator + tidak memiliki elemen komplemen. Oleh karena itu, aksioma yang dipenuhi oleh kedua tabel adalah aksioma komutatif, asosiatif, dan identitas. Elemen identitas untuk masing-masing operator + dan * adalah 1 dan 0, sedangkan hanya elemen 2 pada operator * yang memiliki elemen komplemen, yaitu 1.

---

(b) Ya, himpunan B dengan operator + dan * membentuk aljabar Boolean. Karena himpunan B hanya terdiri dari tiga nilai, maka terdapat 2^3 = 8 kemungkinan kombinasi nilai yang dapat dihasilkan. Dari kedua tabel tersebut, kita dapat melihat bahwa setiap kombinasi nilai dalam himpunan B selalu menghasilkan nilai yang unik untuk setiap operator + dan *, dan setiap operasi juga selalu menghasilkan nilai dalam himpunan B. Oleh karena itu, himpunan B dengan kedua operator tersebut memenuhi sifat-sifat aljabar Boolean.

cmiiw