1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

bilangan 12345678910111213...979899 dibagi oleh 9 maka bersisa

Berikut ini adalah pertanyaan dari aniyulip pada mata pelajaran TI untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bilangan 12345678910111213...979899 dibagi oleh 9 maka bersisa

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

Habis dibagi 9 sehingga sisa pembagian adalah 0

Penjelasan:

Karena pertanyaan menanyakan hasil sisa pembagian oleh 9, kita akan bekerja pada (mod 9)

Perhatikan ekspansi radix-10 atau basis 10 atau biasanya dipanggil desimal pada kelas kongruensi 9 atau \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}

\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n} 10^i\cdot a_i &\equiv 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + ... + 10^1 a_1 + 10^0 a_0 &\pmod 9\\&\equiv 1^n a_n + 1^{n-1} a_{n-1} + ... + 1^1 a_1 + 1^0 a_0 &\pmod 9\\[10pt]&\equiv a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0&\pmod 9\end{aligned}

Dalam kata lain, hasil sisa pembagian dari sembarang bilangan bulat yang direpresentasikan pada desimal akan sama dengan hasil penjumlahan digit-digitnya.

Waktunya mencari beberapa trik untuk menyederhanakan penjumlahan digit-digit yang ditanyakan, perhatikan penjumlahan berikut

\begin{aligned}\sum_{i=0}^9 i &\equiv 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 &\pmod 9\\&\equiv (0 + 9) + (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) &\pmod 9\\[10pt]&\equiv 9 + 9 + 9 + 9 + 9 &\pmod 9\\[10 pt]&\equiv 0 &\pmod 9\end{aligned}

Dapat disimpulkan bahwa penjumlahan 0 hingga 9 habis dibagi 9. Dengan fakta ini, susun bilangan pada soal menjadi barisan seperti berikut

0123456789, 10111213141516171819, ...

0123456789, \overbrace{11111 11111}^{10\; \text{digit}} 0123456789, ...

Dari penjumlahan sebelumnya, diketahui bahwa penjumlahan 0 hingga 9 akan ekuivalen dengan 0 pada modulo 9, sehingga pada barisan tersebut digit 0123456789 dapat dihilangkan menjadi seperti berikut (untuk 00000 00000, didapatkan dari 0123456789 yang pertama, susun seperti berikut 00 01 02 03 ...)

\overbrace{00000 00000}^{10\; \text{digit}}, \overbrace{11111 11111}^{10\; \text{digit}}, \overbrace{22222 22222}^{10\; \text{digit}}, ...

Namun, perhatikan lagi barisan diatas, barisan akan membentuk 10 salinan digit 0123456789 jika disusun berselang-seling

\overbrace{0123456789, 0123456789, 0123456789, ...}^{10\; \text{copy}}

Dan semua salinan tersebut akan bernilai nol, berdasarkan penjumlahan sebelumnya.

Dapat disimpulkan bilangan 123456789101112131415...96979899 habis dibagi 9 sehingga bersisa 0

Terlampir snippet python sebagai sanity check dan jika ingin melihat pembagian langsung oleh kalkulator

Jawaban:Habis dibagi 9 sehingga sisa pembagian adalah 0Penjelasan:Karena pertanyaan menanyakan hasil sisa pembagian oleh 9, kita akan bekerja pada (mod 9)Perhatikan ekspansi radix-10 atau basis 10 atau biasanya dipanggil desimal pada kelas kongruensi 9 atau [tex]\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}[/tex] [tex]\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n} 10^i\cdot a_i &\equiv 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + ... + 10^1 a_1 + 10^0 a_0 &\pmod 9\\&\equiv 1^n a_n + 1^{n-1} a_{n-1} + ... + 1^1 a_1 + 1^0 a_0 &\pmod 9\\[10pt]&\equiv a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0&\pmod 9\end{aligned}[/tex]Dalam kata lain, hasil sisa pembagian dari sembarang bilangan bulat yang direpresentasikan pada desimal akan sama dengan hasil penjumlahan digit-digitnya. Waktunya mencari beberapa trik untuk menyederhanakan penjumlahan digit-digit yang ditanyakan, perhatikan penjumlahan berikut[tex]\begin{aligned}\sum_{i=0}^9 i &\equiv 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 &\pmod 9\\&\equiv (0 + 9) + (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) &\pmod 9\\[10pt]&\equiv 9 + 9 + 9 + 9 + 9 &\pmod 9\\[10 pt]&\equiv 0 &\pmod 9\end{aligned}[/tex]Dapat disimpulkan bahwa penjumlahan 0 hingga 9 habis dibagi 9. Dengan fakta ini, susun bilangan pada soal menjadi barisan seperti berikut[tex]0123456789, 10111213141516171819, ...[/tex][tex]0123456789, \overbrace{11111 11111}^{10\; \text{digit}} 0123456789, ...[/tex]Dari penjumlahan sebelumnya, diketahui bahwa penjumlahan 0 hingga 9 akan ekuivalen dengan 0 pada modulo 9, sehingga pada barisan tersebut digit 0123456789 dapat dihilangkan menjadi seperti berikut (untuk 00000 00000, didapatkan dari 0123456789 yang pertama, susun seperti berikut 00 01 02 03 ...) [tex]\overbrace{00000 00000}^{10\; \text{digit}}, \overbrace{11111 11111}^{10\; \text{digit}}, \overbrace{22222 22222}^{10\; \text{digit}}, ...[/tex]Namun, perhatikan lagi barisan diatas, barisan akan membentuk 10 salinan digit 0123456789 jika disusun berselang-seling[tex]\overbrace{0123456789, 0123456789, 0123456789, ...}^{10\; \text{copy}}[/tex]Dan semua salinan tersebut akan bernilai nol, berdasarkan penjumlahan sebelumnya.Dapat disimpulkan bilangan 123456789101112131415...96979899 habis dibagi 9 sehingga bersisa 0Terlampir snippet python sebagai sanity check dan jika ingin melihat pembagian langsung oleh kalkulator

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh TanurRizal dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 09 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>