Metode Gauss Jordan adalah salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linear. Metode ini bertujuan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear dengan mengubah sistem persamaan tersebut menjadi bentuk matriks augmented (matriks gabungan dari matriks koefisien dan vektor konstanta). Kemudian, metode ini melakukan operasi-operasi eliminasi baris pada matriks augmented tersebut untuk mengubahnya menjadi bentuk matriks yang lebih sederhana.

Berikut adalah contoh sistem persamaan linear dan cara penyelesaiannya dengan Metode Gauss Jordan:

Contoh:

Sistem persamaan linear:

2x + 3y - z = 1

4x + 9y - 2z = 7

-x + y + z = -1

Cara penyelesaiannya dengan Metode Gauss Jordan:

Buat matriks augmented dari sistem persamaan di atas:

[2 3 -1 1]

[4 9 -2 7]

[-1 1 1 -1]

Lakukan operasi-operasi eliminasi baris untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk yang lebih sederhana:

[1 3/2 -1/2 1/2]

[0 1/2 -5/2 -1/2]

[0 0 0 0]

Dari hasil di atas, dapat dilihat bahwa baris ketiga memiliki elemen-elemen yang semuanya nol. Ini berarti bahwa sistem persamaan di atas memiliki infiniti solusi.

Solusi dari sistem persamaan di atas adalah:

x = t - 1/2

y = -t + 1/2

z = t

dimana t adalah suatu bilangan real yang merupakan parameter.

Contoh lain:

Sistem persamaan linear:

2x - 3y + z = 1

-x + y - z = 3

x - y + 2z = -1

Cara penyelesaiannya dengan Metode Gauss Jordan:

Buat matriks augmented dari sistem persamaan di atas:

[2 -3 1 1]

[-1 1 -1 3]

[1 -1 2 -1]

Lakukan operasi-operasi eliminasi baris untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk yang lebih sederhana:

[1 -3/2 1/2 1/2]

[0 -1/2 -3/2 7/2]

[0 0 0 0]

Dari hasil di atas, dapat dilihat bahwa baris ketiga memiliki elemen-elemen yang semuanya nol. Ini berarti bahwa sistem persamaan di atas tidak memiliki solusi yang unik.

Sistem persamaan linear tersebut tidak memiliki solusi yang unik karena tidak ada baris yang dapat dijadikan sebagai baris pivot (baris yang memiliki elemen pivot yang tidak nol). Ini berarti bahwa sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi yang unik, atau dapat dikatakan memiliki infinity solusi.