Jawab:

Bayangan titik K(-4,1) setelah diputar sejauh 180° berlawanan arah jarum jam dengan pusat P(2,-5) dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y + x = 0 adalah K''(4,7).

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan bayangan titik K(-4,1) jika diputar sejauh 180° berlawanan arah jarum jam dengan pusat P(2,-5) dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y + x = 0, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.Untuk mencari bayangan titik K setelah diputar sejauh 180° berlawanan arah jarum jam dengan pusat P(2,-5), kita perlu mencari terlebih dahulu letak titik K' yang merupakan hasil rotasi titik K sejauh 180° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat P.

Dalam hal ini, pusat rotasi adalah P(2,-5), sehingga koordinat titik K' dapat dicari menggunakan rumus berikut:

(x', y') = (2 + (x-2) cosθ - (y+5) sinθ, -5 + (x-2) sinθ + (y+5) cosθ)

Di sini, θ adalah sudut rotasi sejauh 180° berlawanan arah jarum jam, yang dapat dituliskan sebagai θ = π (dalam radian). Dengan mengganti nilai x = -4 dan y = 1, kita dapat menghitung koordinat titik K' sebagai berikut:

(x', y') = (2 + (-4-2) cosπ - (1+5) sinπ, -5 + (-4-2) sinπ + (1+5) cosπ)

(x', y') = (2 + 6(-1) + 0, -5 + 6(0) - 2)

(x', y') = (-4, -7)

Jadi, titik K setelah diputar sejauh 180° berlawanan arah jarum jam dengan pusat P(2,-5) menjadi K'(-4,-7).

2.Untuk mencari bayangan titik K' setelah dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y + x = 0, kita dapat menggunakan rumus pencerminan titik terhadap suatu garis. Dalam hal ini, garis pencerminan y + x = 0 dapat dituliskan sebagai y = -x.

Koordinat titik bayangan K'' setelah pencerminan dapat dihitung dengan mengganti setiap nilai y di titik K' dengan -y, sehingga:

K'' = (-x', -y') = (-(-4), -(-7)) = (4, 7)

Jadi, bayangan titik K(-4,1) setelah diputar sejauh 180° berlawanan arah jarum jam dengan pusat P(2,-5) dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y + x = 0 adalah K''(4,7).