Tentukan himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel berikut

Berikut ini adalah pertanyaan dari kamunanyeak901 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel berikut ini dengan menggunakan metode Cramer! $\left \{ \begin{aligned} & 7x - y + 2z = 3 \\ & 2x + y - 4z = 5 \\ & -9x - 8y - 7z = 10 \end{aligned} \right.$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Himpunan penyelesaian dari SPLTV $\left \{ \begin{aligned} & 7x - y + 2z = 3 \\ & 2x + y - 4z = 5 \\ & -9x - 8y - 7z = 10 \end{aligned} \right.$ adalah

$\boxed{\bf HP = \left \{ \dfrac{212}{337}, -\dfrac{315}{337}, -1 \dfrac{57}{337} \right \}}$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Metode Cramer adalah salah satu metode untuk menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan konsep matriks determinan. Jadi, untuk menggunakan metode ini maka perlu terlebih dahulu paham mengenai konsep matriksdandeterminan.

Berikut ini adalah penyelesaian soal diatas!

Diketahui:

SPLTV

$\left \{ \begin{aligned} & 7x - y + 2z = 3 \\ & 2x + y - 4z = 5 \\ & -9x - 8y - 7z = 10 \end{aligned} \right.$

Ditanyakan:

Himpunan penyelesaian dengan metode Cramer?

Jawab:

Ubah bentuk SPLTV tersebut ke dalam bentuk matriks.

$\begin{bmatrix} 7 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -4 \\ -9 & -8 & -7 \end{bmatrix} ~~ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 10 \end{bmatrix}$

Cari determinan dari matriks koefisiennya.

$\begin{aligned} \rm{D} & = \begin{vmatrix} 7 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -4 \\ -9 & -8 & -7 \end{vmatrix} \\ & = -9 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} - (-8) \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} + (-7) \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = -9(-1(-4) - 2(1)) + 8(-28 - 4) - 7(7 - (-2)) \\ & = -9(4 - 2) + 8(-32) - 7(9) \\ & = -18 + (-256) - 63 \\ & = -18 - 256 - 63 \\ & = -274 - 63 \\ \rm{D} & = \bf -337 \end{aligned}$

Karena $\rm D \ne 0$ , maka metode Cramer dapat digunakan. Kemudian cari determinan $\textrm{D}_x$ , $\textrm{D}_y$ , dan $\textrm{D}_z$ .

$\begin{aligned} \textrm{D}_x & = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & -4 \\ 10 & -8 & -7 \end{vmatrix} \\ & = 10 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} - (-8) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} + (-7) \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 10(-1(-4) - 2(1)) + 8(3(-4) - 2(5)) - 7(3(1) - (-1)(5)) \\ & = 10(4 - 2) + 8(-12-10) - 7(3 - (-5)) \\ & = 10(2) + 8(-22) - 7(8) \\ & = 20 + (-176) - 56 \\ & = 20 - 176 - 56 \\ & = -156 - 56 \\ \textrm{D}_x & = \bf -212 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \textrm{D}_y & = \begin{vmatrix} 7 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -9 & 10 & -7 \end{vmatrix} \\ & = -9 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} - 10 \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} + (-7) \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \\ & = -9(3(-4) - 2(5)) - 10(7(-4) - 2(2)) - 7(7(5) - 3(2)) \\ & = -9(-12 - 10) - 10(-28 - 4) - 7(35 - 6) \\ & = -9(-22) - 10(-32) - 7(29) \\ & = 198 - (-320) - 203 \\ & = 198 + 320 - 203 \\ & = 518 - 203 \\ \textrm{D}_y & = \bf 315 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \textrm{D}_z & = \begin{vmatrix} 7 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} \\ & = -9 \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - (-8) \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} + 10 \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = -9(-1(5) - 3(1)) + 8(7(5) - 3(2)) + 10(7(1) - (-1)(2)) \\ & = -9(-5 - 3) + 8(35 - 6) + 10(7-(-2)) \\ & = -9(-8) + 8(29) + 10(9) \\ & = 72 + 232 + 90 \\ & = 232 + 90 \\ \textrm{D}_z & = \bf 394 \end{aligned}$