[tex](x+\frac{1}{x}) ^{2} + (x^{2} +\frac{1}{x^{2} } )^{2} + (x^{3} +

Berikut ini adalah pertanyaan dari Jeki23steady pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Dasar

$(x+\frac{1}{x}) ^{2} + (x^{2} +\frac{1}{x^{2} } )^{2} + (x^{3} + \frac{1}{x^{3} } )^{2} +\ ...\ +(x^{n} +\frac{1}{x^{n} } )^{2} = ...$ Mohon bantuannya terima kasih

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$Nilai~dari~(x+\frac{1}{x})^2+(x^2+\frac{1}{x^2})^2+(x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^n+\frac{1}{x^n})^2~adalah$ $\frac{(x^{2n}-1)(x^{2n+2}+1)}{x^{2n}(x^2-1)}+2n$

PEMBAHASAN

Deret geometri adalah suatu deret bilangan dimana bilangan yang berurutan memiliki rasio atau perbandingan yang tetap. Rumus rumus yang terdapat pada deret geometri adalah sebagai berikut.

$u_n=ar^{n-1}\\\\r=\frac{u_{n+1}}{u_n}\\\\S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1},~untuk~r>1\\\\S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r},~untuk~r$

DIKETAHUI

$Deret~(x+\frac{1}{x})^2+(x^2+\frac{1}{x^2})^2+(x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^n+\frac{1}{x^n})^2=$

DITANYA

Tentukan nilai dari deret tersebut.

PENYELESAIAN

Dengan menggunakan rumus $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , kita peroleh :

$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+2(x)(\frac{1}{x})+(\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\\\\(x^2+\frac{1}{x^2})^2=(x^2)^2+2(x^2)(\frac{1}{x^2})+(\frac{1}{x^2})^2=x^4+\frac{1}{x^4}+2\\\\(x^3+\frac{1}{x^3})^2=(x^3)^2+2(x^3)(\frac{1}{x^3})+(\frac{1}{x^3})^2=x^6+\frac{1}{x^6}+2\\.\\.\\.\\(x^n+\frac{1}{x^n})^2=(x^n)^2+2(x^n)(\frac{1}{x^n})+(\frac{1}{x^n})^2=x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}+2\\$

Maka

$(x+\frac{1}{x})^2+(x^2+\frac{1}{x^2})^2+(x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^n+\frac{1}{x^n})^2\\\\=(x^2+\frac{1}{x^2}+2)+(x^4+\frac{1}{x^4}+2)+(x^6+\frac{1}{x^6}+2)+...+(x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}+2)\\\\=(x^2+x^4+x^6+...+x^{2n})+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^6}+...+\frac{1}{x^{2n}})+(2+2+2+...+2)_{n~kali}\\\\=(x^2+x^4+x^6+...+x^{2n})+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^6}+...+\frac{1}{x^{2n}})+2n\\$

Disini kita memiliki 2 deret geometri, yaitu :

Deret pertama

$x^2+x^4+x^6+...+x^{2n}\\\\a=x^2\\\\r=x^2\\\\S_{n1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1},~~~~~...asumsi~x^2>1\\\\S_{n1}=\frac{x^2[(x^2)^n-1]}{x^2-1}\\\\S_{n1}=\frac{x^{2n+2}-x^2}{x^2-1}\\$

Deret kedua

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^6}+...+\frac{1}{x^{2n}}\\\\a=\frac{1}{x^2}\\\\r=\frac{1}{x^2}\\\\S_{n2}=\frac{a(1-r^n)}{1-r},~~~~..karena~asumsi~awal~x^2>1~maka~\frac{1}{x^2}$

Sehingga :

$(x+\frac{1}{x})^2+(x^2+\frac{1}{x^2})^2+(x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^n+\frac{1}{x^n})^2\\\\=(x^2+x^4+x^6+...+x^{2n})+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^6}+...+\frac{1}{x^{2n}})+2n\\\\=S_{n1}+S_{n2}+2n\\\\=\frac{x^{2n+2}-x^2}{x^2-1}+\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}(x^2-1)}+2n\\\\=\frac{x^2(x^{2n}-1)}{x^2-1}+\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}(x^2-1)}+2n\\\\=\frac{x^2(x^{2n})(x^{2n}-1)+x^{2n}-1}{x^{2n}(x^2-1)}+2n\\\\=\frac{(x^{2n}-1)(x^{2n+2}+1)}{x^{2n}(x^2-1)}+2n\\$

KESIMPULAN

$Nilai~dari~(x+\frac{1}{x})^2+(x^2+\frac{1}{x^2})^2+(x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^n+\frac{1}{x^n})^2~adalah$ $\frac{(x^{2n}-1)(x^{2n+2}+1)}{x^{2n}(x^2-1)}+2n$

PELAJARI LEBIH LANJUT

Deret geometri tak hingga : yomemimo.com/tugas/29553829
Deret geometri : yomemimo.com/tugas/24888137
Deret Geometri : yomemimo.com/tugas/22383737

DETAIL JAWABAN

Mapel: Matematika

Kelas : 9

Bab : Barisan dan Deret Bilangan

Kode Kategorisasi: 9.2.2

Kata Kunci : barisan,geometri, rasio, suku,

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 30 Aug 20

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah