Jawaban:

Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

hakimium

hakimium

Rp 2.750.000

Pembahasan

Diketahui:

Banyak pasang sepatu laki-laki = x

Banyak pasang sepatu wanita = y

Daya tampung sepatu paling banyak 400 pasang

Banyak sepatu wanita di toko paling sedikit 150 pasang

Banyak sepatu laki-laki di toko paling sedikit 100 pasang dan tidak boleh melebihi 150 pasang

Keuntungan tiap pasang sepatu, yakni Rp 10.000 untuk sepasang sepatu laki-laki dan Rp 5.000 untuk sepasang sepatu wanita.

Ditanya:

Keuntungan terbesar

Proses:

Daya tampung sepatu paling banyak 400 pasang, membentuk pertidaksamaan \boxed{~x+y\leq 400~}.

x \boxed{400} \boxed{0}

y \boxed{0} \boxed{400}

Berupa garis lurus yang memotong sumbu x di absis 400 dan memotong sumbu y di ordinat 400. Daerah yang memenuhi diarsir ke arah kiri bawah termasuk titik (0, 0).

Banyak sepatu wanita di toko paling sedikit 150 pasang, membentuk pertidaksamaan \boxed{ y \geq 150}. Berupa garis mendatar yang memotong sumbu y di ordinat 150. Daerah yang memenuhi diarsir ke arah atas.

Banyak sepatu laki-laki di toko paling sedikit 100 pasang dan tidak boleh melebihi 150 pasang, membentuk pertidaksamaan \boxed{100 \leq x\leq 150}. Berupa dua garis vertikal yang memotong sumbu x pada absis 100 dan 150. Daerah yang memenuhi dan diarsir berada tepat di antara x = 100 dan x = 150.

Fungsi kendala atau fungsi obyektif merupakan keuntungan tiap pasang sepatu, yakni Rp 10.000 untuk sepasang sepatu laki-laki dan Rp 5.000 untuk sepasang sepatu wanita.

Selengkapnya terbentuk model matematika program linear sebagai berikut:

Fungsi obyektif \boxed{f(x, y) = 10.000x + 5.000y}

\boxed{~x+y\leq 400~}

\boxed{ y \geq 150}

\boxed{100 \leq x\leq 150}

Selanjutnya dibuat garis-garis pada koordinat kartesius seperti pada gambar terlampir. Perhatikan, daerah arsiran merupakan himpunan penyelesaian yang memenuhi sistim pertidaksamaan tersebut.

Diberikan empat titik potong A, B, C, dan D pada daerah HP (himpunan penyelesaian) untuk menentukan keuntungan terbesar.

Memperoleh koordinat titik A dari perpotongan garis vertikal x = 100 dan garis horisontal y = 150, yaitu \boxed{x = 100, y = 150 \rightarrow A(100, 150)}

Memperoleh koordinat titik B dari perpotongan garis vertikal x = 150 dan garis horisontal y = 150, yaitu \boxed{x = 150, y = 150 \rightarrow B(150, 150)}

Titik C adalah titik potong garis x + y = 400 dan x = 150. Substitusikan x = 150 ke dalam x + y = 400, diperoleh y = 250, sehingga koordinat titik C adalah \boxed{ C(150, 250)}

Titik D adalah titik potong garis x + y = 400 dan x = 100. Substitusikan x = 100 ke dalam x + y = 400, diperoleh y = 300, sehingga koordinat titik D adalah \boxed{ D(100, 300)}

Substitusikan keempat titik ke dalam fungsi obyektif f(x, y) = 10.000x + 5.000y untuk mengetahui keuntungan terbesar

Titik A(100, 150) ⇒ f(100, 150) = 1.750.000

Titik B(150, 150) ⇒ f(150, 150) = 2.250.000

Titik C(150, 250) ⇒ f(150, 250) = 2.750.000

Titik D(100, 300) ⇒ f(100, 300) = 2.500.000

Kesimpulan:

Keuntungan terbesar adalah Rp 2.750.000

Agar tercapai keuntungan maksimum, toko menjual 150 pasang sepatu laki-laki dan 250 sepatu wanita

~nih :\/~