Soal SBMPTN Lingkaran L₁ berpusat di A (x₁, y₁) dan beerjari-jari

Berikut ini adalah pertanyaan dari Syubbana pada mata pelajaran SBMPTN untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Soal SBMPTNLingkaran L₁ berpusat di A (x₁, y₁) dan beerjari-jari 2 $\sqrt{10}$ n.
Lingkaran L₂ berpusat di B (x₂, y₂) dan berjari-jari $\sqrt{10}$ n.
Bersinggungan dalam dengan lingkaran L₁ dititik dengan absis x = -3n.
Jika x₁ > x₂ serta A dan B terletak pada garis y = 2n-3x, maka y₂ = ...
A. 10n
B. 8n
C. 6n
D. 4n
E. 2n

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Berdasarkan opsi jawaban yang tersedia, y₂ = 8n.
(opsi B)
 

Pembahasan

Kedudukan Lingkaran

Diketahui

Lingkaran L₁ berpusat di $A$ (x₁, y₁) dan beerjari-jari $r_1=2\sqrt{10}n$ .
Lingkaran L₂ berpusat di $B$ (x₂, y₂) dan berjari-jari $r_2=\sqrt{10}n$ .
L₂ bersinggungan dalam dengan L₁ di titik dengan absis $x = -3n$ .
x₁ > x₂
A dan B terletak pada garis $y = 2n-3x$ .

Ditanyakan

y₂ = ...

PENYELESAIAN

Misalkan titik singgung antara $L_2$ dan $L_1$ adalah $C$ yang berkoordinat di $(-3n, y_{\rm C})$ .

Karena $L_2$ bersinggungan dalam dengan $L_1$ dan $r_2 < r_1$ , maka
$\left|\overline{AB}\right| = r_1-r_2 = \sqrt{10}n = r_2$
sehingga titik $A$ terletak pada busur lingkaran $L_2$ .

Karena $A$ terletak pada busur lingkaran $L_2$ , ketiga titik $A$ , $B$ , dan $C$ segaris, atau dengan kata lain ketiga titik tersebut terletak pada garis $y=2n-3x$ .

$\overline{AB}$ dan $\overline{BC}$ adalah garis jari-jari lingkaran $L_2$ , yang merupakan segmen garis pada $\overline{AC}$ , dan ketiga garis tersebut merupakan segmen garis pada garis $y=2n-3x$ .

Dari persamaan garis $y = 2n-3x$ , ordinat titik $C$ adalah
$y_{\rm C} = 2n-3x_{\rm C}=2n-3(-3n)=11n$

Jadi, titik singgung kedua lingkaran adalah $C(-3n, 11n)$ .

Sedangkan absis dari titik $B$ adalah
$x_2=\dfrac{2n-y_2}{3}$

Maka,

$\begin{aligned}\left|\overline{BC}\right|^2&=\left({x_{\rm C}}-{x_2}\right)^2+\left({y_{\rm C}}-{y_2}\right)^2\\10n^2&=\left(-3n-\frac{2n-y_2}{3}\right)^2+(11n-y_2)^2\\&=\left(\frac{-9n-2n+y_2}{3}\right)^2+(11n-y_2)^2\\&=\left(\frac{-11n+y_2}{3}\right)^2+(11n-y_2)^2\\&=\frac{[-(11n-y_2)]^2}{9}+(11n-y_2)^2\\&=\frac{(11n-y_2)^2}{9}+(11n-y_2)^2\\\bigg\{\:10n^2&=\frac{10}{9}(11n-y_2)^2\quad\bigg\}\times\frac{9}{10}\end{aligned}$
$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }9n^2&=(11n-y_2)^2\\3n&={}\pm(11n-y_2)\\3n&=11n-y_2\ \lor\ 3n=y_2-11n\\\therefore\ y_2&=\boxed{\:\bf8n\:}\ \lor\ y_2=\boxed{\:\bf14n\:}\\\end{aligned}$