Untuk menentukan basis dan dimensi dari ker (T) dan R (T), pertama-tama kita harus menentukan matriks transpos dari matriks transformasi D yang diberikan. Matriks transpos dari D adalah:

D^T = 1 2 0

0 2 2

-1 1 3

Kemudian, kita bisa mencari matriks augmentasi A dari D dengan menambahkan matriks transpos D^T sebagai kolom kedua dari matriks D:

A = 1 0 -1 2 | 1 2 0

2 2 1 1 | 0 2 2

0 2 3 -3 | -1 1 3

Setelah itu, kita bisa melakukan eliminasi Gauss untuk mencari matriks singular dan matriks invers dari D. Setelah melakukan eliminasi Gauss, matriks A akan menjadi:

A = 1 0 -1 2 | 1 2 0

0 2 1 3 | 0 2 2

0 0 0 0 | 0 0 0

Dari matriks A di atas, kita bisa mengetahui bahwa basis dari ker (T) adalah {e2 - 2e1 + 3e3} dan dimensi ker (T) adalah 1. Sementara itu, basis dari R (T) adalah {e1, e2 + e3} dan dimensi R (T) adalah 2.

Jadi, hasil akhir dari transformasi matriks TR → R³ adalah basis ker (T) = {e2 - 2e1 + 3e3}, dimensi ker (T) = 1, basis R (T) = {e1, e2 + e3}, dan dimensi R (T) = 2.