Untuk menggunakan multiplikator Lagrange untuk mencari titik Q dan R pada bola tersebut, pertama-tama Anda perlu menentukan fungsi yang akan digunakan. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan fungsi jarak yang didefinisikan sebagai:

f(x,y,z) = (x - 2)² + (y + 1)² + (z - 2)²

Fungsi ini akan menghasilkan nilai jarak kuadrat dari titik (x,y,z) ke titik P(2,-1,2). Kita sekarang dapat menggunakan multiplikator Lagrange untuk mencari titik Q dan R dengan menyelesaikan persamaan:

∇f(x,y,z) = λ ∇g(x,y,z)

di mana g(x,y,z) adalah persamaan bola yang diberikan, yaitu x² + y² + z² = 4.

Setelah menghitung turunan parcial f(x,y,z) dan g(x,y,z), kita dapat menuliskan persamaan di atas sebagai:

(2x - 4) + (2y + 2) + (2z - 4) = 2λx

(2x) + (2y) + (2z) = 2λy

(2x) + (2y) + (2z) = 2λz

Setelah menyelesaikan sistem persamaan di atas, kita akan mendapatkan titik Q dengan koordinat (1,0,1) dan titik R dengan koordinat (-1,0,-1). Kita sekarang dapat menghitung jarak P ke Q dan jarak P ke R dengan menggunakan rumus jarak euklidian:

Jarak P ke Q = √((1 - 2)² + (0 + 1)² + (1 - 2)²) = √2

Jarak P ke R = √((-1 - 2)² + (0 + 1)² + (-1 - 2)²) = √6

Jadi, jarak P ke Q adalah √2 dan jarak P ke R adalah √6.