1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Himpunan Penyelesaian dari [tex]( \frac{2x}{x - 1} )^{2} +

Berikut ini adalah pertanyaan dari gintingfajar462 pada mata pelajaran SBMPTN untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Himpunan Penyelesaian dari( \frac{2x}{x - 1} )^{2} + 4 | \frac{x}{x - 1} | > 3
adalah ......
A. { x < -1 U x > 1/3 , x ≠ 1 }
B. { x < -1/3 U x < 1 }
C. { -1 < x < 1 }
D. { -1/3 < x < 1/3 }
E. { -1 < x < 2/3 }​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Himpunan penyelesaian dari \displaystyle{\left ( \frac{2x}{x-1} \right )^2+4\left | \frac{x}{x-1} \right |> 3}adalah\displaystyle{\boldsymbol{A.~\left \{ x< -1~V~x> \frac{1}{3},~x\neq 1 \right \}}}.

PEMBAHASAN

Tanda mutlak adalah nilai suatu bilangan tanpa tanda plus atau minus. Contoh |2| = |-2| = 2. Pada tanda mutlak berlaku sifat sebagai berikut :

|x|=\left\{\begin{matrix}x,~~x\geq 0\\ \\-x,~~x< 0\end{matrix}\right.

Untuk permasalahan pertidaksamaan fungsi tanda mutlak, cara penyelesaian yang dapat digunakan adalah :

1. Mengkuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan tanda mutlak.

2. Membagi fungsi dalam beberapa interval.

.

DIKETAHUI

\displaystyle{\left ( \frac{2x}{x-1} \right )^2+4\left | \frac{x}{x-1} \right |> 3}

.

DITANYA

Tentukan himpunan penyelesaiannya.

.

PENYELESAIAN

\displaystyle{\left ( \frac{2x}{x-1} \right )^2+4\left | \frac{x}{x-1} \right |> 3}

\displaystyle{\frac{4x^2}{(x-1)^2} +\frac{4|x|}{|x-1|}> 3}

.

x bernilai negatif untuk x < 0 dan positif untuk x ≥ 0.

x-1 bernilai negatif untuk x < 1 dan postif untuk x ≥ 1.

Maka perhitungan kita bagi menjadi 3 interval, yaitu x < 0, 0 ≤ x < 1, dan x ≥ 1.

.

1. Interval x < 0.

Pada interval ini x bernilai negatif, sehingga |x| = -(x).

Pada interval ini x-1 juga bernilai negatif, sehingga |x-1| = -(x-1).

Maka :

\displaystyle{\frac{4x^2}{(x-1)^2} +\frac{4|x|}{|x-1|}> 3}

\displaystyle{\frac{4x^2}{(x-1)^2} +\frac{4(-x)}{-(x-1)}> 3}

\displaystyle{\frac{4x^2}{(x-1)^2} +\frac{4x}{x-1}-3> 0}

\displaystyle{\frac{4x^2+4x(x-1)-3(x-1)^2}{(x-1)^2}> 0}

\displaystyle{\frac{4x^2+4x^2-4x-3x^2+6x-3}{(x-1)^2}> 0}

\displaystyle{\frac{5x^2+2x-3}{(x-1)^2}> 0}

\displaystyle{\frac{(5x-3)(x+1)}{(x-1)^2}> 0}

Pembuat nol fungsi : x=-1,~x=\frac{3}{5},~dan~x=1. Cek menggunakan garis bilangan.

++o--o++o++~~~~~~\to~pilih~daerah~yang~+

.~~-1~~~~~\frac{3}{5}~~~~~~1

.

HP : x 1

Karena interval yang dipilih x < 0, maka yang memenuhi hanya HP : x < -1.

.

2. Interval 0 ≤ x < 1.

Pada interval ini x bernilai positif, sehingga |x| = (x).

Pada interval ini x-1 bernilai negatif, sehingga |x-1| = -(x-1).

Maka :

\displaystyle{\frac{4x^2}{(x-1)^2} +\frac{4|x|}{|x-1|}> 3}

\displaystyle{\frac{4x^2}{(x-1)^2} +\frac{4(x)}{-(x-1)}> 3}

\displaystyle{\frac{4x^2}{(x-1)^2}-\frac{4x}{x-1}-3> 0}

\displaystyle{\frac{4x^2-4x(x-1)-3(x-1)^2}{(x-1)^2}> 0}

\displaystyle{\frac{4x^2-4x^2+4x-3x^2+6x-3}{(x-1)^2}> 0}

\displaystyle{\frac{-3x^2+10x-3}{(x-1)^2}> 0~~~~~~...kedua~ruas~dikali~-1}

\displaystyle{\frac{3x^2-10x+3}{(x-1)^2}< 0}

\displaystyle{\frac{(3x-1)(x-3)}{(x-1)^2}< 0}

Pembuat nol fungsi : x=\frac{1}{3},~x=1,~dan~x=3. Cek menggunakan garis bilangan.

++o--o--o++~~~~~~\to~pilih~daerah~yang~-

.~~~~~\frac{1}{3}~~~~~~1~~~~~~3

.

HP : \frac{1}{3}< x< 1~atau~1< x< 3

Karena interval yang dipilih 0 ≤ x < 1, maka yang memenuhi hanya HP : \boldsymbol{\frac{1}{3}< x< 1}.

.

3. Interval  x ≥ 1.

Pada interval ini x bernilai positif, sehingga |x| = (x).

Pada interval ini x-1 juga bernilai positif, sehingga |x-1| = (x-1).

Maka :

\displaystyle{\frac{4x^2}{(x-1)^2} +\frac{4|x|}{|x-1|}> 3}

\displaystyle{\frac{4x^2}{(x-1)^2} +\frac{4(x)}{(x-1)}> 3}

.

Bentuk pertidaksamaan ini sama dengan no 1, sehingga :

HP : x 1.

Karena interval yang dipilih x ≥ 1, maka yang memenuhi hanya HP : x > 1.

.

.

Solusi totalnya adalah gabungan dari ketiga HP, yaitu :

HP=\left \{ x< -1~V~\frac{1}{3}< x< 1~V~x> 1 \right \}atau bisa ditulis juga sebagaiHP=\left \{ x< -1~V~x> \frac{1}{3},~x\neq 1 \right \}.

.

KESIMPULAN

Himpunan penyelesaian dari \displaystyle{\left ( \frac{2x}{x-1} \right )^2+4\left | \frac{x}{x-1} \right |> 3}adalah\displaystyle{\boldsymbol{A.~\left \{ x< -1~V~x> \frac{1}{3},~x\neq 1 \right \}}}.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Pertidaksamaan tanda mutlak : yomemimo.com/tugas/41925910
  2. Pertidaksamaan tanda mutlak : yomemimo.com/tugas/37468130
  3. Persamaan tanda mutlak : yomemimo.com/tugas/41981431

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Satu Variabel

Kode Kategorisasi: 10.2.1

Kata Kunci: pertidaksamaan, tanda, mutlak, interval.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 18 Oct 21
<< Previous Post
Next Post >>