Nomor 1

Usia rata-rata dari siswa di kelas VIIA adalah 14 tahun. Usia rata-rata dari siswa di kelas VIIB adalah 15 tahun. Jika terdapat 38 siswa di kelas VII A dan 42 siswa di kelas VII B, maka usia rata-rata gabungan dari siswa kedua kelas tersebut (satu angka dibelakang koma) adalah 14,5.

_______________

Nomor 2

Garis menyinggung lingkaran x² + y² = 9 di titik A. Bila B titik potonggaris dengan sumbu X, C titik potong garis g dengan sumbu Y, dan jarak B ke pusat lingkaran 5 cm, maka garis mempunyai persamaan:

• 4y – 3x = –15, atau
• 4y – 3x = 15, atau
• 4y + 3x = –15, atau
• 4y + 3x = 15.

Silahkan amati gambar agar lebih jelas.

_______________

Nomor 3

Diketahui ABCD segiempat tali busur. Besar ∠BCD = 120°, besar ∠ADC = 45°. Bila besar ∠ABC = xdan besar∠BAD = y, maka cos (x - y)adalah¼(√6 – √2).

_______________

Pembahasan

Nomor 1

• Usia rata-rata kelas VIIA: .
• Banyak siswa kelas VIIA: .
• Usia rata-rata kelas VIIB: .
• Banyak siswa kelas VIIB: .

Usia rata-rata gabungan dari kedua kelas tersebut adalah:

Nomor 2

Lingkaran x² + y² = 9memiliki titik pusatdan jari-jari.

B adalah titik potong garis dengan sumbu X, dan jarak B ke titik pusat lingkaran adalah 5 satuan. Oleh karena itu, koordinat titik B adalah atau. Terdapat dua kemungkinan koordinat titik B, karena tidak diketahui pada sumbu x positif atau negatif.

Catatan: Pada soal tertulis 5 cm, namun tidak ada keterangan bahwa satuan sistem koordinat yang digunakan adalah cm, atau 1 satuan mewakili 1 cm. Maka, kita gunakan “satuan“ saja, atau tidak menggunakannya sama sekali.

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 9, yang dalam hal ini adalah garis , dinyatakan oleh y = mx+n.
Kita gunakan tanda ”±” untuk absis titik B.

Substitusi titik B(±5, 0) ke persamaan garis singgung:

0 = ±5m + n
⇒ n = ∓5m  ← perhatikan, tanda plus-minus berubah menjadi minus-plus, karena jika 0 = 5m + n, maka n = –5m, dan sebaliknya jika 0 = –5m + n, maka n = 5m.

Oleh karena itu, persamaan garis g menjadi y = mx ∓ 5m = (x ∓ 5)m.

Kemudian kita substitusi garis ke persamaan lingkaran.

x² + y² = 9
⇒ x² + [(x ∓ 5)m]² = 9
⇒ x² + (x ∓ 5)²m² = 9
⇒ x² + (x² ∓ 10x + 25)m² = 9
⇒ (m²+1)x² ∓ 10m²x + 25m² – 9 = 0
⇒ a = m²+1, b = ∓10m², c = 25m²–9

Agar garis g menyinggung lingkaran, nilai diskriminan persamaan terakhir tersebut harus sama dengan 0.

D = b² – 4ac = 0
⇒ (–10m²)² – 4(m²+1)(25m²–9) = 0
⇒ 100m^4 – 4(25m^4 + 25m² – 9m² – 9) = 0
⇒ 100m^4 – 4(25m^4 + 16m² – 9) = 0
⇒ 100m^4 – 100m^4 – 64m² + 36 = 0
⇒ –64m² + 36 = 0
⇒ 36 – 64m² = 0
⇒ 9 – 16m² = 0
⇒ (3 + 4m)(3 – 4m) = 0
⇒ m = –3/4  atau  m = 3/4
Kita gunakan juga tanda “±” untuk nilai m.

Lalu, kita substitusi nilai m ke persamaan garis g.

y = (x ∓ 5)m, m = ±3/4
⇒ y = (x ∓ 5)(±3/4)
⇒ 4y = (x ∓ 5)(±3)
⇒ 4y = ±3x ∓ 15
⇒ 4y ∓ 3x = ∓15

Artinya, terdapat 4 kemungkinan persamaan garis g, yaitu:

• 4y – 3x = –15
• 4y – 3x = 15
• 4y + 3x = –15
• 4y + 3x = 15

Nomor 3

Pada segiempat tali busur sebuah lingkaran, jumlah besar sudut yang saling berhadapan adalah 180°. Pada segiempat tali busur ABCD, sudut-sudut yang berhadapan adalah:

• ∠BAD dengan ∠BCD
• ∠ABC dengan ∠ADC

Maka:

Besar ∠ABC + besar ∠ADC = 180°
⇒ Besar ∠ABC = 180° – besar ∠ADC
⇒ Besar ∠ABC = 180° – 45°
⇒ Besar ∠ABC = x = 135°

Besar ∠BAD + besar ∠BCD = 180°
⇒ Besar ∠BAD = 180° – besar ∠BCD
⇒ Besar ∠BAD = 180° – 120°
⇒ Besar ∠BAD = y = 60°

Nilai cos (x–y) diberikan oleh:

cos (135° – 60°) = cos 135° cos 60° + sin 135° sin 60°
⇒ cos (135° – 60°) = –cos 45° cos 60° + sin 45° sin 60°
⇒ cos (135° – 60°) = –½√2 · ½ + ½√2 · ½√3
⇒ cos (135° – 60°) =  –¼√2 + ¼√6
⇒ cos (135° – 60°) = ¼(√6 – √2)

Atau dengan cara lainnya sbb.

cos (135° – 60°) = cos 75°
⇒ cos (135° – 60°) = cos (45° + 30°)
⇒ cos (135° – 60°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°
⇒ cos (135° – 60°) = ½√2 · ½√3 – ½√2 · ½
⇒ cos (135° – 60°) = ¼√6 – ¼√2
⇒ cos (135° – 60°) = ¼(√6 – √2)