Jawaban:

a. Energi Fermi adalah energi teratas pada tingkat energi yang terisi oleh fermion dalam sebuah sistem pada temperatur nol. Pada temperatur nol, semua tingkat energi di bawah energi Fermi terisi, sedangkan tingkat energi di atasnya kosong.

Energi Fermi dapat dicari dengan menggunakan rumus:

εF = h² / (2mπ²) (3N / V)^(2/3)

di mana h adalah konstanta Planck, m adalah massa fermion, N adalah jumlah fermion, dan V adalah volume sistem.

Jadi, untuk mencari energi Fermi dari sebuah gas nonrelativistik yang tidak berinteraksi dengan N spin-1/2 fermion dalam kotak dengan luas A, kita perlu menghitung volume sistem terlebih dahulu. Volume sistem dapat dicari dengan menggunakan rumus:

V = A * L

di mana A adalah luas kotak dan L adalah panjang kotak.

Jadi, dengan menggunakan rumus di atas, energi Fermi dari gas tersebut adalah:

εF = h² / (2mπ²) (3N / (A * L))^(2/3)

b. Energi total dari sebuah sistem dapat dicari dengan menjumlahkan energi pada setiap tingkat energi yang terisi. Pada temperatur nol, semua tingkat energi di bawah energi Fermi terisi, sehingga energi total dapat dicari dengan menjumlahkan energi pada setiap tingkat energi di bawah energi Fermi.

Energi total dapat dicari dengan menggunakan rumus:

E = ∑nεn

di mana εn adalah energi pada tingkat energi ke-n.

Jika kita asumsikan bahwa interval antar tingkat energi adalah ε, maka rumus di atas dapat ditulis sebagai:

E = ∑nε(n - 1/2)

Karena semua tingkat energi di bawah energi Fermi terisi, kita dapat menulis rumus di atas sebagai:

E = ∑nεF(n - 1/2)

Karena jumlah tingkat energi di bawah energi Fermi adalah N, maka rumus di atas dapat ditulis sebagai:

E = ∑n=1 to N εF(n - 1/2)

Dengan menggunakan rumus sigma, kita dapat menulis rumus di atas sebagai:

E = εF/2 * ∑n=1 to N n

Karena ∑n=1 to N n adalah jumlah 1 + 2 + 3 + ... + N, maka rumus di atas dapat ditulis sebagai:

E = εF/2 * (N * (N + 1)) / 2

Jadi, energi total dari sebuah gas nonrelativistik yang tidak berinteraksi dengan N spin-1/2 fermion pada T = 0 dalam kotak dengan luas A diberikan oleh rumus:

E = εF/2 * (N * (N + 1)) / 2

Bukti:

E = εF/2 * (N * (N + 1)) / 2

= εF/2 * (N * N + N) / 2

= εF/2 * N * N / 2 + εF/2 * N / 2

= εF * N * (N / 2) + εF * (N / 2)

= εF * N * (N / 2 + 1)

= εF * N * (N + 2) / 2

= εF * N * (N + 1)

Jadi, rumus E = εF * N * (N + 1) / 2 merupakan bukti dari rumus E = εF/2 * (N * (N + 1)) / 2.