1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

3. Suatu deret geometri diketahui S2 = 18 dan S4

Berikut ini adalah pertanyaan dari Ghiyatsx pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

3. Suatu deret geometri diketahui S2 = 18 dan S4 = 90. Tentukan:a. Suku pertama dan rasio deret geometri itu.
b. Jumlah deplapan suku pertama deret geometri itu.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Suatu deret geometri diketahui S₂ = 18 dan S₄ = 90.

a. Terdapat dua alternatif deret geometri yang memenuhi, yaitu:

  • Alternatif Pertama:
    Deret geometri dengan suku pertama = 6 dan rasio = 2.
  • Alternatif Kedua:
    Deret geometri dengan suku pertama = –18 dan rasio = –2.

b. Jumlah delapan suku pertama deret geometri itu, baik alternatif pertama maupun kedua, adalah 1530.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui

\begin{aligned}\textsf{Deret Geometri}\begin{cases}S_2=18\\S_4=90 \end{cases}\end{aligned}

Ditanyakan

  • a. Suku pertama dan rasio deret geometri itu.
  • b. Jumlah delapan suku pertama deret geometri itu.

PENYELESAIAN

Menentukan Rasio Deret Geometri

Cara Pertama

\begin{aligned}\frac{S_4}{S_2}&=\frac{a+ar+ar^2+ar^3}{a+ar}\\\frac{90}{18}&=\frac{a\left(1+r+r^2+r^3\right)}{a(1+r)}\\5&=\frac{1+r+r^2+r^3}{1+r}\\&=\frac{(1+r)\left(1+r^2\right)}{1+r}\\5&=1+r^2\\4&=r^2\\\therefore\ r&=\bf\pm 2\end{aligned}

Cara Kedua

\begin{aligned}\frac{S_4}{S_2}&=\frac{\ \dfrac{a\left(r^{4}-1\right)}{r-1}\ }{\dfrac{a\left(r^2-1\right)}{r-1}}\\\frac{90}{18}&=\frac{r^{4}-1}{r^2-1}\\5&=\frac{\left(r^2-1\right)\left(r^2+1\right)}{r^2-1}\\5&=r^2+1\\4&=r^2\\\therefore\ r&=\bf\pm 2\end{aligned}

∴ Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 2atau–2.

Menentukan Suku Pertama Deret Geometri

\begin{aligned}S_2&=a+ar\\&=a(1+r)\\a&=\frac{S_2}{1+r}=\frac{18}{1\pm2}\\a&=\begin{cases}\vphantom{\Bigg|}\dfrac{18}{1+2}&=\bf6\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{18}{1-2}&=\bf{-}18\end{cases}\end{aligned}

∴ Jadi, suku pertama deret geometri tersebut adalah 6 (dengan rasio = 2), atau –18 (dengan rasio = –2).

Penjelasan:

Dengan a = 6 dan r = 2, 4 suku pertama deret geometri tersebut adalah:
6 + 12 + 24 + 48
⇒ S₂ = 6 + 12 = 18
⇒ S₄ = 18 + 24 + 48 = 90
⇒ Benar!

Dengan a = –18 dan r = –1, 4 suku pertama deret geometri tersebut adalah:
–18 + 36 + (–72) + 144
⇒ S₂ = –18 + 36 = 18
⇒ S₄ = 18 + (–72) + 144 = 162 – 72 = 90
⇒ Benar!

Menentukan Jumlah 8 Suku Pertama

Dengan a = 6 dan r = 2:

\begin{aligned}S_8&=\frac{a\left(r^8-1\right)}{r-1}\\&=\frac{6\left(2^8-1\right)}{2-1}\\&=6\left(2^8-1\right)\\&=6\left(256-1\right)\\&=6\cdot255\\&=1200+300+30\\\therefore\ S_8&=\boxed{\bf1530}\end{aligned}

Dengan a = –18 dan r = –2:

\begin{aligned}S_8&=\frac{a\left(1-r^8\right)}{1-r}\\&=\frac{-18\left(1-(-2)^8\right)}{1-(-2)}\\&=\frac{-18\left(1-2^8\right)}{3}\\&=-6\left(1-256\right)\\&=-6\cdot(-255)=6\cdot255\\\therefore\ S_8&=\boxed{\bf1530}\end{aligned}

KESIMPULAN

a. Terdapat dua alternatif deret geometri yang memenuhi S₂ = 18 dan S₄ = 90, yaitu:

  • Alternatif Pertama:
    Deret geometri dengan suku pertama = 6 dan rasio = 2.
  • Alternatif Kedua:
    Deret geometri dengan suku pertama = –18 dan rasio = –2.

b. Jumlah delapan suku pertama deret geometri itu, baik alternatif pertama maupun kedua, adalah 1530.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 20 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>