Nomor 1

• a. x² + 7x + 6 = 0memilikiakar-akar real yang berbeda.
• b. 3x² – 2x = 8memilikiakar-akar real yang berbeda.

Nomor 2

• x² – 2px – p + 2 = 0memilikiakar kembar jika:
  p = 1 atau p = –2.
• x² – 2px – p + 2 = 0memilikiakar-akar real yang berbeda jika:
  p < –2 atau p > 1.
• x² – 2px – p + 2 = 0memilikiakar-akar imajiner jika:
  –2 < p < 1.

Pembahasan

Nomor 1

Untuk menyelidiki atau menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat, kita bisa menyelidiki nilai diskriminannya.

• Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar real yang berbeda.
• Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki akar real yang kembar.
• Jika D < 0, maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar imajiner.

Soal 1a: x² + 7x + 6 = 0

⇒ D = b²–4ac = 7²–4·1·6 = 49–24 = 25 > 0
⇒ x² + 7x + 6 = 0 memiliki akar-akar real yang berbeda.
⇒ Kedua akar real tersebut adalah x = 1 dan x = 6, dapat diperoleh dari pemfaktoran (x+1)(x+6) = 0.
∴  Jadi, x² + 7x + 6 = 0 memiliki akar-akar real yang berbeda.

Soal 1b: 3x² – 2x = 8  ⇒ 3x² – 2x – 8 = 0

⇒ D = b²–4ac = (–2)²–4·3·(-8) = 4+96 = 100 > 0
⇒ 3x² – 2x = 8 memiliki akar-akar real yang berbeda.
⇒ Kedua akar real tersebut adalah x = –4/3 dan x = 2, dapat diperoleh dari pemfaktoran (3x+4)(x–2) = 0.
∴  Jadi, 3x² – 2x = 8 memiliki akar-akar real yang berbeda.

Nomor 2

Menurut saya, soal nomor 2 ini kurang lengkap. Tapi kita kerjakan saja.
Seperti soal nomor 1, kita cari nilai diskriminannya dulu.

x² – 2px – p + 2 = 0
( a = 1, b = –2p, c = –p+2 )
⇒ D = b²–4ac = (–2p)²–4(1)(–p+2)
⇒ D = 4p²+4p–8 = 4(p²+p-2)
⇒ D = 4(p–1)(p+2)

• Kasus 1: Akar kembar
  D = 0.
  ⇒ 4(p–1)(p+2) = 0
  ⇒ (p–1)(p+2) = 0
  ⇒ p = 1  atau  p = –2
  ∴  Jadi, agar x² – 2px – p + 2 = 0 memiliki akar kembar, maka:
  p = 1 atau p = –2.

• Kasus 2: Akar-akar real yang berbeda
  D > 0.
  ⇒ 4(p–1)(p+2) > 0
  ⇒ (p–1)(p+2) > 0
  ⇒ p < –2: (–)(–) = (+) > 0
      –2 < p < 1: (–)(+) = (–) < 0
      p > 1: (+)(+) > 0
  ∴  Jadi, agar x² – 2px – p + 2 = 0 memiliki akar-akar real yang berbeda, maka:
  p < –2 atau p > 1.

• Kasus 3: Akar-akar imajiner
  Karena rentang nilai p untuk kasus 1 dan kasus 2 telah diperoleh, maka untuk kasus 3 ini, kita tinggal menggunakan rentang nilai p yang belum termasuk pada kedua kasus di atas, yaitu –2 < p < 1.
  ∴  Jadi, agar x² – 2px – p + 2 = 0 memiliki akar-akar imajiner, maka:
  –2 < p < 1.