1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Salah satu faktor linear dari suku banyak p(x)=2x^3-3x^2+(a-15)x+6 adalah (2x-1)

Berikut ini adalah pertanyaan dari panggraeni2659 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Salah satu faktor linear dari suku banyak p(x)=2x^3-3x^2+(a-15)x+6 adalah (2x-1) tentukan faktor lainnya

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Faktor lainnya dari p(x)adalah\bf(x^2-x-6), yang jika difaktorkan lagi akan diperoleh 2 faktor linear lain dari p(x), yaitu \bf(x+2)dan\bf(x-3).
 

Pembahasan

Faktor dari Suku Banyak

Diketahui

  • Suku banyak: p(x)=2x^3-3x^2+(a-15)x+6
  • Salah satu faktor linear dari p(x)adalah(2x-1).

Ditanyakan

  • Faktor lainnya dari p(x)

PENYELESAIAN

Cara Pertama: Dengan langsung memfaktorkan terlebih dahulu

Pemfaktoran p(x) dapat dikerjakan dengan cara berikut ini.

\begin{aligned}p(x)&=\underline{2x^3}-3x^2+(a-15)x+6\\&=(2x-1)x^2-\underline{2x^2}+(a-15)x+6\\&=(2x-1)\left(x^2-x\right)+(a-15-1)x+6\\&=(2x-1)\left(x^2-x\right)+\underline{(a-16)x}+\boxed{6}\\&=(2x-1)\left(x^2-x+\boxed{\frac{a-16}{2}}\right)\end{aligned}

Dari pemfaktoran di atas, konstanta dari (2x-1)adalah{-}1, sehingga hasil kalinya dengan \dfrac{a-16}{2}harus sama dengan6agar(2x-1)benar merupakan faktor darip(x).

\begin{aligned}6&=(-1)\left(\frac{a-16}{2}\right)\\12&=-a+16\\a&=16-12\\\therefore\ a&=\bf4\end{aligned}

Dengan a = 4, untuk p(x) diperoleh:

\begin{aligned}p(x)&=(2x-1)\left(x^2-x+\frac{4-16}{2}\right)\\&=(2x-1)\left(x^2-x+\frac{-12}{2}\right)\\&=(2x-1)\left(x^2-x-6\right)\\&\quad\rightsquigarrow\textsf{faktorkan $x^2-x-6$}\\&=(2x-1)(x+2)(x-3)\\\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  Jadi, faktor lainnya dari p(x)adalah\bf(x^2-x-6), yang jika difaktorkan lagi akan diperoleh 2 faktor linear lain dari p(x), yaitu \bf(x+2)dan\bf(x-3).
\blacksquare

____________________

Cara Kedua: Dengan Teorema Faktor Polinomial

2x-1=0\implies x=\dfrac{1}{2}

Oleh karena itu, jika (2x-1)adalah salah satu faktor darip(x), maka p\left(\dfrac{1}{2} \right)=0.

\begin{aligned}p\left(\frac{1}{2}\right)&=2\left(\frac{1}{2}\right)^3-3\left(\frac{1}{2}\right)^2+(a-15)\left(\frac{1}{2}\right)+6\\0&=\frac{2}{8}-\frac{3}{4}+\frac{a-15}{2}+6\\0&=\frac{1-3+2(a-15)+24}{4}\\0&=\frac{22+2a-30}{4}\\0&=\frac{2a-8}{4}=\frac{a-4}{2}\\0&=a-4\\\therefore\ a&=\bf4\end{aligned}

Jadi, p(x)=2x^3-3x^2-11x+6.

Selanjutnya, kita faktorkan p(x)terhadap(2x-1). Bisa menggunakan pemfaktoran seperti cara pertama di atas, atau dengan pembagian bersusun, atau skema Horner.

Dengan cara bersusun

\begin{aligned}&\bf\quad x^2-x-6\\2x-1\,&\overline{\smash{\big)}\,2x^3-3x^2-11x+6}\\&\ \;\underline{2x^3-\ \:x^2}\ -\\&\qquad\ \:{-}2x^2-11x\\&\qquad\ \:\underline{{-}2x^2+\ \ \;x}\ -\\&\qquad\qquad\quad\:{-}12x+6\\&\qquad\qquad\quad\:\underline{{-}12x+6}\ -\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\ \:\,0\end{aligned}

Dengan skema Horner

Pembagi: (2x-1) dibagi 2 menjadi (x – ½)

\begin{aligned}&\begin{array}{c|ccccccc|}&x^3&&x^2&&x&&c\\&2&&-3&&-11&&6\\\dfrac{1}{2}&\downarrow&&1&&-1&&-6\\&\downarrow&\nearrow&\downarrow&\nearrow&\downarrow&\nearrow&\downarrow\\&\bf2&&\bf-2&&\bf-12&&\bf0\\&x^2&&x&&c&&\sf sisa\\\end{array}\\&\Rightarrow \textsf{Hasil bagi}:2x^2-2x-12\\\end{aligned}

Sebelum menyelesaikan dengan skema Horner, faktor pembagi dibagi 2. Oleh karena itu, hasil bagi juga harus dibagi 2, dan menghasilkan:
\bf x^2-x-6.
.........................................

Dari pembagian bersusun atau skema Horner, kita memperoleh faktor lainnya dari p(x), yaitu x^2-x-6. Jika difaktorkan lagi, kita memperoleh (x+2)(x-3).

KESIMPULAN

∴  Jadi, faktor lainnya dari p(x)adalah\bf(x^2-x-6), yang jika difaktorkan lagi akan diperoleh 2 faktor linear lain dari p(x), yaitu \bf(x+2)dan\bf(x-3).
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 13 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>