1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

buktikan untuk bilangan bulat x, bahwa (x⁴ + 2x³ -x²

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Buktikan untuk bilangan bulat x, bahwa(x⁴ + 2x³ -x² -2x)(x + 3) habis dibagi 3

note : tidak menggunakan induksi matematika dan tidak mensubstitusi nilai x secara sembarang dan asal2an

​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Akan dibuktikan bahwa (x⁴ + 2x³ - x² - 2x)(x + 3) habis dibagi 3 untuk x sembarang bilangan bulat, dinotasikan dengan:

\large\text{$\begin{aligned}&{3}\ \mid\ {(x^4+2x^3-x^2-2x)(x + 3)}\\&\quad \forall x:\:x \in \mathbb{Z} \end{aligned}$}

yang artinya: 3 habis membagi (x⁴ + 2x³ - x² - 2x)(x + 3) untuk semua x di mana x adalah bilangan bulat.

Sebuah bilangan "habis dibagi 3" jika salah satu faktornya merupakan kelipatan 3 atau habis dibagi 3. Atau dengan kata lain, ada faktor yang jika dibagi 3 maka akan menghasilkan sisa pembagian = 0.

Mari kita lanjutkan dengan memfaktorkan.

\large\text{$\begin{aligned}&(x^4+2x^3-x^2-2x)(x + 3)\\&{\iff}\left[\:x\left(x^3+2x^2-x-2\right)\:\right](x+3)\\&{\iff}\left[\:x\big(x^2(x+2)-1(x+2)\big)\:\right](x+3)\\&{\iff}\left[\:x\big((x^2-1)(x+2)\big)\:\right](x+3)\\&{\iff}\left[\:x\big((x-1)(x+1)(x+2)\big)\:\right](x+3)\\&{\iff}\bf x(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)\end{aligned}$}

Kita memperoleh bahwa faktor-faktor dari (x⁴ + 2x³ - x² - 2x)(x + 3) adalah:

  • x
  • x-1
  • x+1
  • x+2
  • x+3

Jika sebuah bilangan bulat x dibagi 3, maka ada 3 kemungkinan pada sisa pembagiannya, yaitu:

  • x : 3 memiliki sisa pembagian = 0, atau dengan kata lain x habis dibagi 3
  • x : 3 memiliki sisa pembagian = 1
  • x : 3 memiliki sisa pembagian = 2

Kemungkinan ke-1: x : 3 memiliki sisa pembagian = 0

Pada kemungkinan ini, jelas bahwa x habis dibagi 3. Faktor xatau(x+3) pasti habis dibagi 3.

Oleh karena itu, untuk kemungkinan ke-1 ini dapat disimpulkan bahwa:

∴ (x⁴ + 2x³ - x² - 2x)(x + 3) habis dibagi 3, karena baik x maupun (x+3) habis dibagi 3.

Kemungkinan ke-2: x : 3 memiliki sisa pembagian = 1

Jika x : 3 memiliki sisa pembagian = 1, maka faktor (x-1)atau(x+2) habis dibagi 3.

x = 3c + 1    (sisa pembagian = 1)

⇔ x - 1 = 3c  ⇒  (x-1) habis dibagi 3

x = 3c + 1

⇔ x + 2 = 3c + 1 + 2

⇔ x + 2 = 3c + 3

⇔ x + 2 = 3(c + 1)  ⇒  (x+2) habis dibagi 3

Oleh karena itu, untuk kemungkinan ke-2 ini dapat disimpulkan bahwa:

∴ (x⁴ + 2x³ - x² - 2x)(x + 3) habis dibagi 3, karena baik (x-1) maupun (x+2) habis dibagi 3.

Kemungkinan ke-3: x : 3 memiliki sisa pembagian = 2

Jika x : 3 memiliki sisa pembagian = 2, maka faktor (x+1) habis dibagi 3.

x = 3c + 2

⇔ x + 1 = 3c + 2 + 1

⇔ x + 1 = 3c + 3

⇔ x + 1 = 3(c + 1)  ⇒  (x+1) habis dibagi 3

Oleh karena itu, untuk kemungkinan ke-3 ini dapat disimpulkan bahwa:

∴ (x⁴ + 2x³ - x² - 2x)(x + 3) habis dibagi 3, karena (x+1) habis dibagi 3.

KESIMPULAN AKHIR

Telah ditunjukkan pada ketiga kemungkinan di atas bahwa semua faktor (x⁴ + 2x³ - x² - 2x)(x + 3) habis dibagi 3.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa:

(x⁴ + 2x³ - x² - 2x)(x + 3) habis dibagi 3.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 01 Apr 22
<< Previous Post
Next Post >>