Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Sebelum langkah-langkah pembuktian, mari kita ingat beberapa definisi operasi himpunan.

1. Produk Cartesian

P × Q = { (p, q) | p ∈ P dan q ∈ Q }

2. Irisan himpunan

P ∩ Q = { x | x ∈ P dan x ∈ Q }

___________________________

Pernyataan yang ingin dibuktikan adalah:

(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D)

Untuk membuktikan pernyataan tersebut, akan ditunjukkan bahwa:

I. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D)

II. (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D)

PEMBUKTIAN Bagian I

(A ∩ B) × (C ∩ D)

   ..... definisi produk Cartesian

= { (x, y) | x ∈ A ∩ B dan y ∈ C ∩ D }

   ..... definisi irisan himpunan

= { (x, y) | (x ∈ A dan x ∈ B) dan (y ∈ C dan y ∈ D) }

   ..... lepas kurungnya karena sifat asosiatif

= { (x, y) | x ∈ A dan x ∈ B dan y ∈ C dan y ∈ D }

   ..... tukar posisi karena sifat komutatif

= { (x, y) | x ∈ A dan y ∈ C dan x ∈ B dan y ∈ D }

   ..... asosiasikan

= { (x, y) | (x ∈ A dan y ∈ C) dan (x ∈ B dan y ∈ D) }

   ..... jabarkan, kurung dapat dilepas

= { (x, y) | x ∈ A dan y ∈ C } dan { (x, y) | x ∈ B dan y ∈ D }

   ..... definisi produk Cartesian

= (A × C) dan (B × D)  untuk semua (x, y)

   ..... definisi irisan himpunan

= (A × C) ∩ (B × D)

∵  Dengan demikian, terbukti bahwa:

(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D)

PEMBUKTIAN Bagian II

(A × C) ∩ (B × D)

   ..... definisi irisan himpunan

= { (x, y) | (x, y) ∈ A × C dan (x, y) ∈ B × D }

   ..... definisi produk Cartesian

= { (x, y) | (x ∈ A dan y ∈ C) dan (x ∈ B dan y ∈ D) }

   ..... lepas kurungnya karena sifat asosiatif

= { (x, y) | x ∈ A dan y ∈ C dan x ∈ B dan y ∈ D }

   ..... tukar posisi karena sifat komutatif

= { (x, y) | x ∈ A dan x ∈ B dan y ∈ C dan y ∈ D }

   ..... asosiasikan

= { (x, y) | (x ∈ A dan x ∈ B) dan (y ∈ C dan y ∈ D) }

   ..... definisi irisan himpunan

= { (x, y) | x ∈ A ∩ B dan y ∈ C ∩ D }

   ..... definisi produk Cartesian

= (A ∩ B) × (C ∩ D)

∵  Dengan demikian, terbukti bahwa:

(A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D)

∴  Karena kedua bagian di atas telah terbukti, dapat disimpulkan bahwa pernyataan:

(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D)

terbukti.