Tentukan hasil dari 1/(1+2) + 1/(1+2+3) +...+ 1/(1+2+3...+99)

Berikut ini adalah pertanyaan dari verlyneflourencia pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil dari $\frac{1}{1 ~+~ 2}$ + $\frac{1}{1 ~+~ 2 ~+~ 3}$ + ... + $\frac{1}{1 ~+~ 2 ~+~ 3~+~. . . .~+~99}$ adalah $\boxed {\displaystyle {\frac{49}{50} }}$

Pendahuluan

Pola Bilangan adalah suatu susunan bilangan yang disusun dengan teratur (konsisten) membentuk /menurut pola tertentu.

Contoh pola bilangan:

1. Pola Bilangan Garis Lurus

2. Pola Bilangan Persegi Panjang

3. Pola Bilangan Persegi

4. Pola Bilangan Segitiga

5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap

6. Pola Segitiga Pascal

Pembahasan

Pola Bilangan Segitiga

Pola bilangan segitiga adalah suatu pola bilangan/barisan bilangan yang susunannya membentuk suatu pola bilangan segitiga. Pola bilangan segitiga yang dimaksud adalah 1, 3, 6, 10, 15, . . . .

Rumus Pola Bilangan Segitiga

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, … , ke-n.

Jadi rumus pola bilangan segitiga ke n adalah : $\displaystyle \boxed {{\text U_{\text n}= \frac{ \text n(\text n+ 1)}{2}}}$

Diketahui :

$\frac{1}{1 ~+~ 2}$ + $\frac{1}{1 ~+~ 2 ~+~ 3}$ + ... + $\frac{1}{1 ~+~ 2 ~+~ 3~+~. . . .~+~99}$

Ditanyakan :

Hasil = . . . .

Jawab :

Perhatikan pola bilangan pada soal , yaitu :

$\frac{1}{1 ~+~ 2}$ + $\frac{1}{1 ~+~ 2 ~+~ 3}$ + ... + $\frac{1}{1 ~+~ 2 ~+~ 3~+~. . . .~+~99}$

Pola tersebut memiliki penyebut :

(1 + 2), (1 + 2 + 3) , (1 + 2 + 3 + 4), . . . ., (1 + 2 + 3 + . . . + 99)

Pola tersebut dibentuk dari pola bilangan segitiga dari pola bilangan segitiga :

1, (1 + 2), (1 + 2 + 3) , (1 + 2 + 3 + 4), . . . . (1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 99)

Pola tersebut dimulai untuk n = 1

Sehingga pola :

(1 + 2), (1 + 2 + 3) , (1 + 2 + 3 + 4), . . . . (1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 99)

Dimulai untuk n = 2

Rumus suku ke-n pola bilangan segitiga tersebut : $\displaystyle {\frac {\text {n(n + 1)}}{2} }$

Menentukan hasil

Perhatikan pola pada soal :

$\frac{1}{1 ~+~ 2}$ + $\frac{1}{1 ~+~ 2 ~+~ 3}$ + ... + $\frac{1}{1 ~+~ 2 ~+~ 3~+~. . . .~+~99}$

Maka hasilnya ditentukan dengan rumus :

$\displaystyle {\sum \limits_{\text n ~=~ 2}^{99}~ {\frac{1}{\frac {\text {n(n + 1)}}{2} } }}$

⇔ $\displaystyle {\sum \limits_{\text n ~=~ 2}^{99}~ {\frac{2}{\text {n(n + 1) } } } }$

⇔ $\displaystyle {\sum \limits_{\text n ~=~ 2}^{99}~2(~ {\frac{1}{\text {n(n + 1) } }~) } }$

⇔ $\displaystyle {\sum \limits_{\text n ~=~ 2}^{99}~2(~ {\frac{(\text n + 1) - \text n}{\text {n(n + 1) } }~) } }$

⇔ $\displaystyle {\sum \limits_{\text n ~=~ 2}^{99}~2(\frac{1}{\text n} - \frac{1}{\text n + 1} ) } }$

Untuk n dimulai dari 2, didapat :

⇔ $\displaystyle {2(\frac{1}{2} -\frac{1}{3} )}$ + $\displaystyle {2(\frac{1}{3} -\frac{1}{4} )}$ + $\displaystyle {2(\frac{1}{4} -\frac{1}{5} )}$ + . . . + $\displaystyle {2(\frac{1}{99} -\frac{1}{100} )}$