1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Q. Math••Triple Quis With High Difficulty__________________________[tex]$\lim_{x\to0}\frac{x \: \tan \:

Berikut ini adalah pertanyaan dari Entrity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Q. Math•
•
Triple Quis With High Difficulty
__________________________
$\lim_{x\to0}\frac{x \: \tan \: x }{1 - \cos \: 3x }$
Berapa hasil dari limit fungsi trigonometri di atas?
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

\large\text{$\begin{aligned}
&\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{x\tan x}{1-\cos3x}}=\bf\frac{2}{9}
\end{aligned}$}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\large\text{$\begin{aligned}
&{\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{x\tan x}{1-\cos3x}}}\\
&{\;\Big|}\normalsize\textsf{ aturan L'H$\hat{\sf o}$pital}\\
&{=\ }\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{\frac{d}{dx}(x\tan x)}{\frac{d}{dx}(1-\cos3x)}}\\
&{\;\Big|}\normalsize\textsf{ aturan rantai}\\
&{=\ }\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{\left(\frac{d}{dx}{x}\right)\tan x+x\left(\frac{d}{dx}\tan x\right)}{\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}\cos3x}}
\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}
&{=\ }\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{\tan x+x\sec^2x}{-\left(-\sin3x\left(\frac{d}{dx}3x\right)\right)}}\\
&{=\ }\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{\tan x+x\sec^2x}{3\sin3x}}\\
&{=\ }\lim\limits_{x\to\,0}\:\left(\frac{1}{3}\cdot{\frac{\tan x+x\sec^2x}{\sin3x}}\right)\\
&{\;\Big|}\normalsize\textsf{ keluarkan $\frac{1}{3}$ menjadi pengali limit}\\
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{\tan x+x\sec^2x}{\sin3x}}
\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}
&{\;\Big|}\normalsize\textsf{ aturan L'H$\hat{\sf o}$pital}\\
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{\frac{d}{dx}\left(\tan x+x\sec^2x\right)}{\frac{d}{dx}\sin3x}}\\
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{\frac{d}{dx}\tan x+\frac{d}{dx}\left(x\sec^2x\right)}{\frac{d}{dx}\sin3x}}\\
&{\;\Big|}\normalsize\textsf{ aturan rantai}
\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{\sec^2x+\left(\frac{d}{dx}x\right)\sec^2x+x\left(\frac{d}{dx}\sec^2x\right)}{\cos3x\left(\frac{d}{dx}3x\right)}}\\
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{\sec^2x+\sec^2x+x\left(2\sec x\left(\frac{d}{dx}\sec x\right)\right)}{\cos3x(3)}}\\
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{2\sec^2x+x\left(2\sec x\sec x\tan x\right)}{3\cos3x}}
\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{2\sec^2x+2x\sec^2x\tan x}{3\cos3x}}\\
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{2\sec^2x(1+x\tan x)}{3\cos3x}}\\
&{\;\Big|}\normalsize\textsf{ substitusi $x$ dengan $0$}\\
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot{\frac{\left(2\sec^20\right)(1+0\cdot\tan 0)}{3\cos(3\cdot0)}}\\
&{=\ }\frac{1}{3}\cdot{\frac{2(1)}{3(1)}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\\
&{=\ }\boxed{\ \bf\frac{2}{9}\ }
\end{aligned}$}

∴  Dengan demikian, diperoleh:

\large\text{$\begin{aligned}
&\boxed{\ \lim\limits_{x\to\,0}\:{\frac{x\tan x}{1-\cos3x}}=\bf\frac{2}{9}\ }
\end{aligned}$}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 23 Apr 22
<< Previous Post
Next Post >>