Jumlah digit-digit dari N adalah 23.

Pembahasan

N merupakan bilangan bulat 3-digit terbesar yang memenuhi 3 kondisi berikut“

• N dibagi 5 sisa 3
• N dibagi 7 sisa 4
• N dibagi 9 sisa 5

Untuk mencari N, kita dapat menggunakan sistem kongruensi linier.

• N dibagi 5 sisa 3:
  ⇒ N ≡ 3 (mod 5)
  ⇒ N = 5k + 3    ....(i)

• N dibagi 7 sisa 4:
  ⇒ N ≡ 4 (mod 7)
  Substitusi N dari (i).
  ⇒ 5k + 3 ≡ 4 (mod 7)
  ⇒ 5k ≡ (4 – 3) (mod 7)
  ⇒ 5k ≡ 1 (mod 7)
  ⇒ 5k ≡ (14+1) (mod 7)
  ⇒ 5k ≡ 15 (mod 7)
  ⇒ k ≡ 3 (mod 7)
  ⇒ k = 7l + 3    ....(ii)

• N dibagi 9 sisa 5:
  ⇒ N ≡ 5 (mod 9)
  Substitusi N dari (i).
  ⇒ 5k + 3 ≡ 5 (mod 9)
  ⇒ 5k ≡ (5 – 3) (mod 9)
  ⇒ 5k ≡ 2 (mod 9)
  ⇒ 5k ≡ (18+2) mod 9
  ⇒ 5k ≡ 20 (mod 9)
  ⇒ k ≡ 4 (mod 9)
  Substitusi k dari (ii).
  ⇒ 7l + 3 ≡ 4 (mod 9)
  ⇒ 7l = (4 – 3) (mod 9)
  ⇒ 7l = 1 (mod 9)
  ⇒ 7l = (27+1) (mod 9)
  ⇒ 7l = 28 (mod 9)
  ⇒ l = 4 (mod 9)
  ⇒ l = 9m + 4    ....(iii)

Setelah itu, kita kerjakan “mundur”.

• N = 5k + 3
  Substitusi k dari (ii).
  ⇒ N = 5(7l + 3) + 3
  ⇒ N = 35l + 15 + 3
  ⇒ N = 35l + 18
  Substitusi l dari (iii).
  ⇒ N = 35(9m + 4) + 18
  ⇒ N = 315m + 140 + 18
  ⇒ N = 315m + 158
  dengan k, l, m ∈ ℤ

Karena N adalah bilangan 3-digit terbesar, kita substitusi m dengan 2. Untuk m = 3, hasilnya akan lebih dari 999.

⇒ N = 315(2) + 158
⇒ N = 630 + 158
⇒ N = 788

Pemeriksaan

Dengan N = 788:

• N dibagi 5 sisa 3:
  ⇒ 788 = 785 + 3
  ⇒ 788 = 5×157 + 3
  ⇒ BENAR
• N dibagi 7 sisa 4:
  ⇒ 788 = 784 + 4
  ⇒ 788 = 7×112 + 4
  ⇒ BENAR
• N dibagi 9 sisa 5:
  ⇒ 788 = 783 + 5
  ⇒ 783 = 9×87 + 5
  ⇒ BENAR

Sehingga, dengan N = 788, jumlah digit-digit dari N adalah:
7 + 8 + 8 = 23

KESIMPULAN

∴  Jumlah digit-digit dari N adalah 23.