Berapa nilai minimum 9+25 t6/t³, dimana adalah bilangan real positif?soal

Berikut ini adalah pertanyaan dari cicinurrahayu pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Berapa nilai minimum 9+25t6/t³, dimana adalah bilangan real positif?

soal yang lebih jelasnya ada di foto
Berapa nilai minimum 9+25
t6/t³, dimana adalah bilangan real positif?soal yang lebih jelasnya ada di foto

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai minimum dari $\displaystyle\frac{9+25t^6}{t^3}$ di mana $t$ merupakan bilangan real positif adalah30.

Pembahasan

Kita akan menentukan nilai minimum dari $\displaystyle\frac{9+25t^6}{t^3}$ di mana $t$ adalah bilangan real positif.

Cara Pertama: Ketaksamaan AM-GM

Karena $t$ bilangan real positif, kita dapat menggunakan ketaksamaan AM-GM, di mana AM ≥ GM.

AM adalah arithmetic mean (rataan aritmetik), dan GM adalah geometric mean (rataan geometrik).

Jika terdapat suku-suku (data) $x_1, x_2, {\dots}, x_n$ , maka:

$\begin{aligned}\bullet\ &AM=\frac{x_1+x_2+{\dots}+x_n}{n}\\\bullet\ &GM=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot{\dots}\cdot x_n}\\\bullet\ &AM \ge GM\end{aligned}$

Jika kita pecah $\dfrac{9+25t^6}{t^3}$ menjadi 2 suku, maka suku pertama adalah $\dfrac{9}{t^3}$ , dan suku kedua adalah $\dfrac{25t^6}{t^3}$ atau $25t^3$ .

$\begin{aligned}&AM \ge GM\\{\Rightarrow\ }&\frac{\dfrac{9}{t^3}+\dfrac{25t^6}{t^3}}{2} \ge \sqrt{\dfrac{9}{t^3}\cdot\dfrac{25t^6}{t^3}}\\{\Rightarrow\ }&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge 2\sqrt{3^2\cdot5^2\cdot\dfrac{t^6}{t^6}}\\{\Rightarrow\ }&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge 2\sqrt{15^2}\\{\Rightarrow\ }&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge 2\cdot15\\{\therefore\ \;}&\dfrac{9+25t^6}{t^3} \ge \boxed{\ \bf30\ }\\\end{aligned}$

∴ Jadi, nilai minimumnya adalah 30.

Cara Kedua: Nilai Minimum Fungsi

Ambil $\displaystyle f(t)=\frac{9+25t^6}{t^3}$ . Nilai minimum $f(t)$ dapat ditentukan dari titik-titik stasionernya. Kita tentukan turunan pertamanya terlebih dahulu.

$\begin{aligned}f'(t)&=\frac{d}{dt}\left(\frac{9+25t^6}{t^3}\right)\\&=\frac{d}{dt}\left(\frac{9}{t^3}+25t^3\right)\\&=\frac{d}{dt}\left(9t^{-3}+25t^3\right)\\&=-27t^{-4}+75t^2\\&=\frac{75t^6-27}{t^4}\\f'(t)&=\frac{3\left(25t^6-9\right)}{t^4}\\\end{aligned}$

Titik stasioner: $f'(t)=0$

$\begin{aligned}0&=\frac{3\left(25t^6-9\right)}{t^4}\\\rightsquigarrow\;0&=3\left(25t^6-9\right)\,,\ t\ne0\\\rightsquigarrow\;0&=25t^6-9\\\rightsquigarrow t^6&=\frac{9}{25}\\\rightsquigarrow\ \:t&=\sqrt[6]{\frac{9}{25}}\ \because\ t\in\mathbb{R}\,,\ t > 0\end{aligned}$

Pada penyelesaian di atas, sebenarnya ada nilai sekawan negatifnya. Namun, karena $t$ adalah bilangan real positif, diambil solusi positif.

Kita masih perlu memeriksanya dengan turunan kedua.

Nilai minimum diperoleh ketika $f''(t) > 0$ .

$\begin{aligned}f''(t)&=\frac{df'(t)}{dt}\\&=\frac{d}{dt}\left(\frac{3\left(25t^6-9\right)}{t^4}\right)\\&=3\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{25t^6-9}{t^4}\right)\\&=3\cdot\frac{d}{dt}\left(25t^2-\frac{9}{t^4}\right)\\&=3\left(50t+\frac{36}{t^5}\right)\\&=6\left(25t+\frac{18}{t^5}\right)\\f''(t)&=\frac{6\left(25t^6+18\right)}{t^5}\end{aligned}$

Dengan bentuk fungsi turunan kedua seperti itu, dan $t > 0$ , maka diperoleh $f''(t) > 0$ . Oleh karena itu, benar bahwa:

$\displaystyle t_{\rm min}=\sqrt[6]{\frac{9}{25}}$

Nilai minimum yang kita cari adalah:

$\begin{aligned}f\left(t_{\rm min}\right)&=f\left(\sqrt[6]{\frac{9}{25}}\right)\\&=\frac{9+25\left(\sqrt[6]{\dfrac{9}{25}}\right)^6}{\left(\sqrt[6]{\dfrac{9}{25}}\right)^3}\\&=\frac{9+25\cdot\dfrac{9}{25}}{\sqrt{\dfrac{9}{25}}}\\&=\frac{9+9}{\frac{3}{5}}\\&=18\cdot\frac{5}{3}\\f\left(t_{\rm min}\right)&=\boxed{\ \bf30\ }\end{aligned}$

∴ Jadi, nilai minimumnya adalah 30.

KESIMPULAN

∴ Nilai minimum dari $\displaystyle\frac{9+25t^6}{t^3}$ di mana $t$ merupakan bilangan real positif adalah30.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 08 Aug 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah