Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Aritmetika Modular

Operasi “modulo” atau disingkat dengan “mod” adalah operasi aritmetika bilangan bulat yang menghasilkan sisa pembagian bilangan bulat. Jadi, domain dan range operasi/fungsi ini adalah bilangan bulat.

a mod m = b

berarti badalah bilangan bulat yang merupakan sisa dari operasi pembagiana : m.

Sebagai contoh:

Kita tahu bahwa 10 dibagi 3 menghasilkan 3 dengan sisa 1, karena 3 × 3 = 9, dan 10 bukan kelipatan 3, sehingga terdapat sisa 1. Hal ini dapat dinyatakan dengan:

10 mod 3 = 1

Contoh lain:

Angka satuan dari sebuah bilangan bulat xadalah bilangan bulat sisa operasi pembagianx : 10. Dalam notasi modulo, dapat dinyatakan dengan:

x mod 10 = y

⇒ y adalah angka satuan dari x

29 mod 10 = 9, karena 29 dibagi 10 bersisa 9, dengan hasil bagi = 2.

456 mod 10 = 6, karena 456 dibagi 10 bersisa 6, dengan hasil bagi = 45.

10 mod 10 = 0, karena 10 habis dibagi 10.

3 mod 10 = 3, karena 3 dibagi 10 bersisa 3, dengan hasil bagi = 0.

Penyelesaian dari a mod m = b adalah:

a = km + b

dengan k ∈ bilangan bulat.

Sebagai contoh:

a mod 3 = 2, berapakah nilai a?

Jawab:
a = 3k + 2

sehingga dengan nilai k = ..., –2, –1, 0, 1, 2, ... nilai-nilai a yang mungkin adalah:

..., –4, –1, 2, 5, 6, ...

__________________________

Pada pertanyaan, terdapat rumus:

(ab) mod n = [(a mod n)(b mod n)] mod n

artinya adalah hasil modulo n terhadap a×b sama dengan hasil modulo n dari perkalian hasil modulo n terhadap a dan hasil modulo n terhadap b.

Apakah Anda bingung? Sama. :D

By example saja, mungkin bisa lebih jelas.

Kita tahu bahwa 11×12 = 132. Lalu, 132 : 10 bersisa 2.

Sehingga:

132 mod 10 = 2

⇔ (11×12) mod 10 = 2

Dengan a = 11danb = 12, kita hitung hasil modulo berdasarkan ruas kanan pada rumus di atas.

[(11 mod 10)(12 mod 10)] mod 10

= (1×2) mod 10

= 2 mod 10

= 2

Hasil ini sama dengan perhitungan sebelumnya.

Kita lanjutkan dengan contoh yang ada dalam pertanyaan, yaitu menentukan angka satuan dari (1016 × 1017 × 1018 × 1019) dengan modulo 10.

(1016 × 1017 × 1018 × 1019) mod 10

Langkah Ke-1:

= [ (1016 mod 10) × (1017 mod 10) × (1018 mod 10) × (1019 mod 10) ] mod 10

Langkah Ke-2:

Perhatikan angka satuannya saja, karena baik puluhan, ratusan, ribuan, puluh-ribuan, ratus-ribuan, dst. adalah kelipatan 10 (habis dibagi 10).

1016 mod 10 = 6, karena 1016 = 101×10 + 6

1017 mod 10 = 7, karena 1017 = 101×10 + 7

1018 mod 10 = 8, karena 1018 = 101×10 + 8

1019 mod 10 = 9, karena 1019 = 101×10 + 9

Sehingga penyelesaian dapat dilanjutkan dengan

= [ 6 × 7 × 8 × 9 ] mod 10

Langkah Ke-3:

6×7 = 42

8×9 = 72

Sehingga penyelesaian dapat dilanjutkan dengan

= [ (42 mod 10) × (72 mod 10) ] mod 10

Langkah Ke-4:

42 mod 10 = 2

72 mod 10 = 2

Sehingga penyelesaian dapat dilanjutkan dengan

= [ 2 × 2 ] mod 10

Langkah Ke-5:

2×2 = 4

Sehingga penyelesaian dapat dilanjutkan dengan

= 4 mod 10

Langkah Ke-6:

Hasil dari 4 dibagi 10 adalah 0, dengan SISA 4.

Atau: 4 = 0×10 + 4

Sehingga:

4 mod 10 = 4

∴  Oleh karena itu, hasil akhirnya adalah 4.