1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Q. Buktikan bahwa [tex] \sf 2^{m} - 2^{n} = 2^{n} [/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari BukanPerempuan pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Q.Buktikan bahwa \sf 2^{m} - 2^{n} = 2^{n} dengan:
» m € bil. asli
» n € bil. asli
» m = n + 1 (n = m - 1)

Gunakan cara selengkap-lengkapnya, ndak harus grade 5.
---
Pirtual everywhere

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Persamaan yang akan dibuktikan adalah:

\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\ 2^m-2^n=2^n\ }\\&\sf dengan\ \begin{cases}m,n\in\mathbb{N}\\m=n+1&.....(i)\end{cases}\end{aligned}$}

Pembuktian Cara 1

\large\text{$\begin{aligned}&2^m-2^n=2^n\\&(i)\rightarrow2^{n+1}-2^n=2^n\\\\&{\quad}\left[\ \normalsize\text{$\begin{aligned}&\because\ a^b\cdot a^c=a^{b+c}\\&{\implies\;}2^{n+1}=2^n\cdot2^1=2\cdot2^n\\\end{aligned}$}\right.\\\\&{\iff}2\cdot2^n-2^n=2^n\\&{\iff}2\cdot2^n-1\cdot2^n=2^n\\&{\iff}(2-1)2^n=2^n\\&{\iff}1\cdot2^n=2^n\\&{\iff}2^n=2^n\\&{\iff}\textsf{Ruas kiri = ruas kanan}\\&{\iff}\textsf{(terbukti)}\end{aligned}$}

Pembuktian Cara 2

\large\text{$\begin{aligned}&2^m-2^n=2^n\\&(i)\rightarrow2^{n+1}-2^n=2^n\\&{\quad}\left[\ \normalsize\text{$\begin{aligned}&\because\ n=(n+1)-1\\\end{aligned}$}\right.\\&{\iff}2^{n+1}-2^{(n+1)-1}=2^n\\&{\iff}2^{n+1}-2^{n+1}\cdot2^{-1}=2^n\\&{\iff}2^{n+1}-\frac{2^{n+1}}{2}=2^n\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\quad\left[\ \normalsize\textsf{kedua ruas dikalikan 2}\right.\\&{\iff}2\cdot2^{n+1}-2^{n+1}=2\cdot2^n\\&{\iff}2\cdot2^{n+1}-1\cdot2^{n+1}=2^{n+1}\\&{\iff}(2-1)\cdot2^{n+1}=2^{n+1}\\&{\iff}1\cdot2^{n+1}=2^{n+1}\\&{\iff}2^{n+1}=2^{n+1}\\&{\iff}\textsf{Ruas kiri = ruas kanan}\\&{\iff}\textsf{(terbukti)}\end{aligned}$}

Pembuktian Cara 3

Karena m, n ∈ ℕ, maka kita juga dapat membuktikan dengan logaritma.

\large\text{$\begin{aligned}&2^m-2^n=2^n\\&(i)\rightarrow2^{n+1}-2^n=2^n\\&\textsf{Jika $2^{n+1}=c$, maka }{}^2\log{c}=n+1,\\&\textsf{sehingga}\\&{}^2\log{c}=n+{}^2\log{2}\\&{\iff}{}^2\log{c}-{}^2\log{2}=n\\&{\iff}{}^2\log{c}-{}^2\log{2}=n\\&{\iff}{}^2\log{\left(\frac{c}{2}\right)}=n\\&{\iff}2^n=\frac{c}{2}\\&c=2^{n+1}\\&{\implies}\:2^n=\frac{2^{n+1}}{2}=\frac{\cancel{2}\cdot2^n}{\cancel{2}}\\&{\iff}2^n=2^n\\&{\iff}\textsf{Ruas kiri = ruas kanan}\\&{\iff}\textsf{(terbukti)}\end{aligned}$}

Pembuktian Cara 4: Induksi Matematika

Akan dibuktikan bahwa

\large\text{$\begin{aligned}&2^m-2^n=2^n\end{aligned}$}

untuk semua m, n ∈ ℕ, di mana m = n + 1.

\large\text{$\begin{aligned}&2^m-2^n=2^n\\&m=n+1\implies2^{n+1}-2^n=2^n\end{aligned}$}

Untuk n = 1:

\large\text{$\begin{aligned}&2^{1+1}-2^1=2^1\\&\iff2^2-2=2\\&\iff4-2=2\\&\iff2=2\end{aligned}$}

terbukti benar.

Dengan asumsi bahwa persamaan di atas benar untuk n = k, yaitu

\large\text{$\begin{aligned}&2^{k+1}-2^k=2^k\end{aligned}$}

maka akan ditunjukkan bahwa persamaan di atas juga benar untuk n = k+1, yaitu

\large\text{$\begin{aligned}&2^{(k+1)+1}-2^{k+1}=2^{k+1}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&2^{(k+1)+1}-2^{k+1}=2^{k+1}\\&{\iff}2\cdot2^{k+1}-2\cdot2^k=2^{k+1}\\&{\iff}2\underbrace{\left(2^{k+1}-2^k\right)}=2^{k+1}\\&{\qquad\qquad\quad}=2^k\ \textsf{dari asumsi di atas}\\&{\iff}2(2^k)=2^{k+1}\\&{\iff}2^1(2^k)=2^{k+1}\\&{\iff}2^{1+k}=2^{k+1}\\&{\quad}\because\ 1+k=k+1\\&{\iff}2^{k+1}=2^{k+1}\\&{\iff}\textsf{Ruas kiri = ruas kanan}\\&{\iff}\textsf{terbukti benar untuk $n=k+1$}\end{aligned}$}

Telah ditunjukkan bahwa persamaan di atas benar untuk n = 1.

Telah ditunjukkan pula bahwa persamaan di atas benar untuk n = k+1 (dengan asumsi persamaan di atas benar untuk n = k).

∴  Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa:

\large\text{$\begin{aligned}&2^m-2^n=2^n\end{aligned}$}

TERBUKTI BENAR untuk semua m, n ∈ ℕ, di mana m = n + 1.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 10 May 22
<< Previous Post
Next Post >>