1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

(+50): Deret Geometris[tex] \displaystyle\sum_{ x=0 }^{ \infty

Berikut ini adalah pertanyaan dari Hayst pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

(+50): Deret Geometris \displaystyle\sum_{ x=0 }^{ \infty } \left( \frac{ 1 }{ 2 ^ { x } } \right) =2
Buktikan bahwa deret geometris di atas ekuivalen dengan 2.

Sebagai tantangan, jangan gunakan rumus deret geometris untuk menyelesaikan.​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk pembuktian di bawah ini, ruas persamaan saya balik terlebih dahulu.

\large\text{$\begin{aligned}&&2&=\sum\limits_{x=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^x}\right)\\&&{\iff}2&=\sum\limits_{x=0}^{\infty}\left[2\left(\frac{1}{2\cdot2^{x}}\right)\right]\\&&{\iff}2&=\sum\limits_{x=0}^{\infty}\left[2\left(\frac{1}{2^{x+1}}\right)\right]\\&&&.....\ \small\text{$\sum{c\cdot f(n)}=c\cdot\sum f(n)$}\\&&{\iff}2&=2\cdot\sum\limits_{x=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{x+1}}\right)\\&&&.....\ \small\textsf{manipulasi indeks}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&&{\iff}2&=2\cdot\sum\limits_{x=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{x}}\right)\\&&{\iff}2&=\underbrace{2\bigg(\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots}_{\bf S_n\,,\ n=\infty}\bigg)}_{\bf2S_n\,,\ n=\infty}\\&&{\iff}2&=2S_{\infty}\qquad.....(\star)\end{aligned}$}

Untuk nilai n terbatas:

\large\text{$\begin{aligned}&&S_n&=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}\\&&{\iff}2S_n&=2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}\right)\\&&&=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\&&&=1+\left(S_n-\frac{1}{2^n}\right)\\&&&=1+S_n-\frac{1}{2^n}\\&&{\iff}S_n&=1-\frac{1}{2^n}\qquad.....(\star\star)\end{aligned}$}

Ketika nmencapai nilaitak hingga:

\large\text{$\begin{aligned}&&S_{\infty}&=1-\lim\limits_{n\to\,\infty}\left(\frac{1}{2^n}\right)\\&&&=1-\frac{\lim\limits_{n\to\,\infty}\:(1)}{\lim\limits_{n\to\,\infty}\:(2^n)}\\&&&.....\ \small\text{$\lim\limits_{n\to\,\infty}\:(1)=1$}\\&&&.....\ \small\text{$\lim\limits_{n\to\,\infty}\:(2^n)=\infty$}\\&&&.....\ \small\text{$\implies\lim\limits_{n\to\,\infty}\left(\frac{1}{2^n}\right)=0$}\\&&&=1-0\\&&S_{\infty}&=\bf1\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Substitusi }S_{\infty}\rightarrow(\star):\\&2=2(1)\iff2=2\\&\textsf{Ruas kiri}=\textsf{Ruas kanan}\\&\therefore\ \textsf{Persamaan $\sum\limits_{x=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^x}\right)=2$ terbukti.}\end{aligned}$}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 13 May 22
<< Previous Post
Next Post >>