1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

QUIZ! hitung banyak bilangan bulat positif yang membagi setidaknya 2 bilangan

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

QUIZ!hitung banyak bilangan bulat positif yang membagi setidaknya 2 bilangan bulat dari himpunan \{1^{1} ,2^{2} ,3^{3} ,4^{4} ,5^{5} ,6^{6} ,7^{7} ,8^{8} ,9^{9},10^{10} \}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\:\bf22\:}\rm\ bilangan\end{aligned}$}
 

Pembahasan

Teori Bilangan

Diketahui
Sebuah himpunan bilangan bulat positif:
\left\{1^1,\:2^2,\:3^3,\:4^4,\:5^5,\:6^6,\:7^7,\:8^8,\:9^9,\:10^{10}\right\}

Ditanyakan
Banyak bilangan bulat positif yang habis membagi setidaknya 2 bilangan bulat anggota himpunan tersebut

PENYELESAIAN

Himpunan di atas dapat juga dinyatakan dengan:
\begin{aligned}\{m^m\mid1 \le m \le 10,\ m\in\mathbb{N}\}\end{aligned}

Misalkan terdapat fungsi {\rm KP}(n)yang menyatakan hasil kali faktor-faktor prima berbeda dari sebuah bilangan bulat positifn, yang dinyatakan oleh:
\begin{aligned}{\rm KP}(n)=\prod_{i=1}^{k}{P_i}^{(n)}\end{aligned}
di mana {P_i}^{(n)} menyatakan faktor prima ke-idari bilangann, dan nmemilikik faktor prima.

Jika n \mid m^m, maka semua faktor prima dari npasti habis membagim, sehingga {\rm KP}(n) \mid m.

Sebagai contoh: 24\mid6^6, karena 6^6=2^3\times3\times2^3\times3^5=24\times2^3\times3^5.
\begin{aligned}&\Rightarrow {\rm KP}(24)=2\times3=6\\&\Rightarrow {\rm KP}(24)\mid6\end{aligned}

Oleh karena itu, kita observasi pada himpunan M=\left\{1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7,\:8,\:9,\:10\right\}, di mana {\rm KP}(n) \mid m, m\in M.

Pada himpunan M, terdapat 5 bilangan komposit, yaitu 4, 6, 8, 9, dan 10.

  • Faktor prima dari 4 adalah 2.
  • Faktor prima dari 6 adalah 2 dan 3.
  • Faktor prima dari 8 adalah 2.
  • Faktor prima dari 9 adalah 3.
  • Faktor prima dari 10 adalah 2 dan 5.

Dengan demikian, jika nadalah bilangan bulat positif yang habis membagi setidaknya dua anggota\{m^m\mid1 \le m \le 10,\ m\in\mathbb{N}\}, maka {\rm KP}(n) \in \{2, 3, 5\}, ditambah 1 kasus khusus untuk faktor 1.
________________

Kasus 1: {\rm KP}(n)=2
\begin{aligned}&{\rm KP}(n)=2\\&{\implies}{\rm KP}(n)\mid m,\ m \in \{2,4,6,8,10\}\\\end{aligned}
Terdapat 10 bilangan n yang memenuhi, yaitu 2, 2^2, 2^3, 2^4, ..., 2^9, dan 2^{10}, karena baik 2^2, 4^4, 6^6, 8^8, maupun 10^{10}masing-masing memiliki faktor2^k, dengan k\in\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}\cup\{24\}. (dipecah dengan unionagar lebih terlihat nilaik yang memenuhi)
Perhatikan bahwa 8^8 = 2^{24}, dan pangkat terbesar yang kurang dari 24 adalah 10.
________________

Kasus 2: {\rm KP}(n)=3
\begin{aligned}&{\rm KP}(n)=3\\&{\implies}{\rm KP}(n)\mid m,\ m \in \{3,6,9\}\\\end{aligned}
Terdapat 6 bilangan n yang memenuhi, yaitu 3, 3^2, 3^3, 3^3, 3^4, 3^5, dan 3^6, karena baik 3^3, 6^6, maupun 9^9masing-masing memiliki faktor3^k, dengan k\in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\cup\{18\}.
Perhatikan bahwa 9^9 = 3^{18}, dan pangkat terbesar yang kurang dari 18 adalah 6.
________________

Kasus 3: {\rm KP}(n)=5
\begin{aligned}&{\rm KP}(n)=5\\&{\implies}{\rm KP}(n)\mid m,\ m \in \{5, 10\}\\\end{aligned}
Terdapat 5 bilangan n yang memenuhi, yaitu 5, 5^2, 5^3, 5^4, dan 5^5, karena baik 5^5maupun10^{10}masing-masing memiliki faktor5^k, dengan k\in\left\{1,2,3,4,5\right\}\cup\{10\}.
 

KESIMPULAN

Dengan demikian, banyak bilangan bulat positif yang habis membagi setidaknya 2 bilangan bulat dari himpunan \left\{1^1,\:2^2,\:3^3,\:4^4,\:5^5,\:6^6,\:7^7,\:8^8,\:9^9,\:10^{10}\right\} adalah:
\large\text{$\begin{aligned}1 + 10 + 6 + 5 = \boxed{\:\bf22\:}\rm\ bilangan.\end{aligned}$}

\blacksquare
 

[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\:\bf22\:}\rm\ bilangan\end{aligned}$}[/tex] PembahasanTeori BilanganDiketahuiSebuah himpunan bilangan bulat positif:[tex]\left\{1^1,\:2^2,\:3^3,\:4^4,\:5^5,\:6^6,\:7^7,\:8^8,\:9^9,\:10^{10}\right\}[/tex]DitanyakanBanyak bilangan bulat positif yang habis membagi setidaknya 2 bilangan bulat anggota himpunan tersebutPENYELESAIANHimpunan di atas dapat juga dinyatakan dengan:[tex]\begin{aligned}\{m^m\mid1 \le m \le 10,\ m\in\mathbb{N}\}\end{aligned}[/tex]Misalkan terdapat fungsi [tex]{\rm KP}(n)[/tex] yang menyatakan hasil kali faktor-faktor prima berbeda dari sebuah bilangan bulat positif [tex]n[/tex], yang dinyatakan oleh:[tex]\begin{aligned}{\rm KP}(n)=\prod_{i=1}^{k}{P_i}^{(n)}\end{aligned}[/tex]di mana [tex]{P_i}^{(n)}[/tex] menyatakan faktor prima ke-[tex]i[/tex] dari bilangan [tex]n[/tex], dan [tex]n[/tex] memiliki [tex]k[/tex] faktor prima.Jika [tex]n \mid m^m[/tex], maka semua faktor prima dari [tex]n[/tex] pasti habis membagi [tex]m[/tex], sehingga [tex]{\rm KP}(n) \mid m[/tex].Sebagai contoh: [tex]24\mid6^6[/tex], karena [tex]6^6=2^3\times3\times2^3\times3^5=24\times2^3\times3^5[/tex]. [tex]\begin{aligned}&\Rightarrow {\rm KP}(24)=2\times3=6\\&\Rightarrow {\rm KP}(24)\mid6\end{aligned}[/tex]Oleh karena itu, kita observasi pada himpunan [tex]M=\left\{1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7,\:8,\:9,\:10\right\}[/tex], di mana [tex]{\rm KP}(n) \mid m[/tex], [tex]m\in M[/tex].Pada himpunan [tex]M[/tex], terdapat 5 bilangan komposit, yaitu 4, 6, 8, 9, dan 10. Faktor prima dari 4 adalah 2. Faktor prima dari 6 adalah 2 dan 3. Faktor prima dari 8 adalah 2. Faktor prima dari 9 adalah 3. Faktor prima dari 10 adalah 2 dan 5.Dengan demikian, jika [tex]n[/tex] adalah bilangan bulat positif yang habis membagi setidaknya dua anggota [tex]\{m^m\mid1 \le m \le 10,\ m\in\mathbb{N}\}[/tex], maka [tex]{\rm KP}(n) \in \{2, 3, 5\}[/tex], ditambah 1 kasus khusus untuk faktor 1.________________Kasus 1: [tex]{\rm KP}(n)=2[/tex][tex]\begin{aligned}&{\rm KP}(n)=2\\&{\implies}{\rm KP}(n)\mid m,\ m \in \{2,4,6,8,10\}\\\end{aligned}[/tex]Terdapat 10 bilangan [tex]n[/tex] yang memenuhi, yaitu [tex]2[/tex], [tex]2^2[/tex], [tex]2^3[/tex], [tex]2^4[/tex], ..., [tex]2^9[/tex], dan [tex]2^{10}[/tex], karena baik [tex]2^2[/tex], [tex]4^4[/tex], [tex]6^6[/tex], [tex]8^8[/tex], maupun [tex]10^{10}[/tex] masing-masing memiliki faktor [tex]2^k[/tex], dengan [tex]k\in\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}\cup\{24\}[/tex]. (dipecah dengan union agar lebih terlihat nilai [tex]k[/tex] yang memenuhi)Perhatikan bahwa [tex]8^8 = 2^{24}[/tex], dan pangkat terbesar yang kurang dari 24 adalah 10.________________Kasus 2: [tex]{\rm KP}(n)=3[/tex][tex]\begin{aligned}&{\rm KP}(n)=3\\&{\implies}{\rm KP}(n)\mid m,\ m \in \{3,6,9\}\\\end{aligned}[/tex]Terdapat 6 bilangan [tex]n[/tex] yang memenuhi, yaitu [tex]3[/tex], [tex]3^2[/tex], [tex]3^3[/tex], [tex]3^3[/tex], [tex]3^4[/tex], [tex]3^5[/tex], dan [tex]3^6[/tex], karena baik [tex]3^3[/tex], [tex]6^6[/tex], maupun [tex]9^9[/tex] masing-masing memiliki faktor [tex]3^k[/tex], dengan [tex]k\in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\cup\{18\}[/tex].Perhatikan bahwa [tex]9^9 = 3^{18}[/tex], dan pangkat terbesar yang kurang dari 18 adalah 6.________________Kasus 3: [tex]{\rm KP}(n)=5[/tex][tex]\begin{aligned}&{\rm KP}(n)=5\\&{\implies}{\rm KP}(n)\mid m,\ m \in \{5, 10\}\\\end{aligned}[/tex]Terdapat 5 bilangan [tex]n[/tex] yang memenuhi, yaitu [tex]5[/tex], [tex]5^2[/tex], [tex]5^3[/tex], [tex]5^4[/tex], dan [tex]5^5[/tex], karena baik [tex]5^5[/tex] maupun [tex]10^{10}[/tex] masing-masing memiliki faktor [tex]5^k[/tex], dengan [tex]k\in\left\{1,2,3,4,5\right\}\cup\{10\}[/tex]. KESIMPULANDengan demikian, banyak bilangan bulat positif yang habis membagi setidaknya 2 bilangan bulat dari himpunan [tex]\left\{1^1,\:2^2,\:3^3,\:4^4,\:5^5,\:6^6,\:7^7,\:8^8,\:9^9,\:10^{10}\right\}[/tex] adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}1 + 10 + 6 + 5 = \boxed{\:\bf22\:}\rm\ bilangan.\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex] 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 11 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>