1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

jika f(n)menyatakan jumlah bilangan bulat dari 1 sampai n maka

Berikut ini adalah pertanyaan dari liebecia089 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Jika f(n)menyatakan jumlah bilangan bulat dari 1 sampai n maka 1/f(1)+1/f(2)+...+f(100)​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika f(n)menyatakanjumlah bilangan bulat dari 1 sampai n maka:
1/f(1) + 1/f(2) + ... + 1/f(100)​ = 200/101.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\begin{aligned}f(n)&=1+2+3+{\dots}+n\\&\quad(a=1,\ b=1)\\&=\frac{1}{2}n(2\cdot1+(n-1))\\&=\frac{1}{2}n(2+n-1)\\&=\frac{n(n+1)}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}&\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}+\frac{1}{f(3)}+{\dots}+\frac{1}{f(100)}\\&{=\ }\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{\ \frac{n(n+1)}{2}\ }\\&{=\ }\sum_{n=1}^{100}\frac{2}{n(n+1)}\\&{=\ }2\cdot\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n(n+1)}\\\end{aligned}

Jadikan pecahan parsial.

\begin{aligned}\frac{1}{n(n+1)}&=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}\\\frac{1}{n(n+1)}&=\frac{A(n+1)+Bn}{n(n+1)}\\\end{aligned}

Memperhatikan kesamaan kedua ruas, diperoleh:

  • A(n+1) +Bn=2
  • Penyebut adalah n(n+1), di mana persamaan n(n+1)=0memiliki akar-akarn=0ataun=-1.

\begin{aligned}\bullet\ \:&{\sf Untuk\ }n=0:\\&\Rightarrow A(0+1)+B\cdot0=1\\&\Rightarrow A+0=1\\&\Rightarrow A=1\\\bullet\ \:&{\sf Untuk\ }n=-1:\\&\Rightarrow A(-1+1)+B\cdot(-1)=1\\&\Rightarrow 0-B=1\\&\Rightarrow B=-1\\\end{aligned}

Maka diperoleh pecahan parsial:

\begin{aligned}\frac{1}{n(n+1)}&=\frac{1}{n}+\frac{-1}{n+1}\\\therefore\ \frac{1}{n(n+1)}&=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\\end{aligned}

Substitusikan ke dalam notasi sigma.

\begin{aligned}&\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}+\frac{1}{f(3)}+{\dots}+\frac{1}{f(100)}\\&{=\ }2\cdot\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n(n+1)}\\&{=\ }2\cdot\sum_{n=1}^{100}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\&{=\ }2\cdot\left(\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n+1}\right)\\&{=\ }2\cdot\left(\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}-\sum_{n=2}^{101}\frac{1}{n}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }2\cdot\left[\begin{aligned}&\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+{\dots}+\frac{1}{100}\right)\\&-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+{\dots}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}\right)\end{aligned}\right]\\&{=\ }2\cdot\left(1-\frac{1}{101}\right)\\&{=\ }2\cdot\left(\frac{101-1}{101}\right)\\&{=\ }2\cdot\frac{100}{101}\\&{=\ }\boxed{\,\bf\frac{200}{101}\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 09 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>