bantu jawab ya ka terimakasih

Berikut ini adalah pertanyaan dari zcnr pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bantu jawab ya ka terimakasih

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Bentuk akar tersebut dapat ditulis sebagai

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx + r} \cdot \frac{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx + r}}{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx + r}}$

Sesuai dengan sifat aljabar dasar, $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ , maka bentuk pada limit di atas dapat ditulis

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + c - (px^2 + qx + r)}{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx + r}}$

Terdapat tiga kasus mengenai bentuk di atas.

Kasus I, ketika $a = p$ , maka semua koefisien $x^2$ saling membatalkan sehingga tidak ada koefisien yang tersisa. Dengan kata lain,

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(b - q)x + c - r}{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{ax^2 + qx + r}}$

Semua pembilang dan penyebut dapat dibagi dengan $\frac{1}{x}$ sehingga

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(b - q) + \frac{c - r}{x}}{\sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}} + \sqrt{a + \frac{p}{x} + \frac{r}{x^2}}}$

(Catatan bahwa $\frac{1}{x} = \sqrt{\frac{1}{x^2}}$ .)

Ketika limit $x$ menuju ke takhingga, maka ekspresi diatas dapat mengeliminasi semua koefisien yang memiliki variabel $x$ , yang mengakibatkan bahwa limit dari bentuk-bentuk tersebut menuju ke 0.

$\displaystyle \frac{b - q}{\sqrt{a} + \sqrt{a}} = \frac{b - q}{2\sqrt{a}}$

Demikian, kasus I sudah dibuktikan.

Kasus II (ketika $a > p$ ), dilakukan dengan cara yang serupa. Maka diperoleh

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(a-p)x^2 + (b - q)x + \frac{c - r}{x^2}}{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx + r}}$

Lagi, lakukanlah hal yang serupa dengan yang di atas, yaitu pembiang dan penyebut dikali $\frac{1}{x^2}$ .

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{a-p+ \frac{b-q}{x} + \frac{c - r}{x^2}}{\sqrt{\frac{a}{x^2} + \frac{b}{x^3} + \frac{c}{x^4}} + \sqrt{\frac{a}{x^2} + \frac{q}{x^3} + \frac{r}{x^4}}}$

Ketika menuju takhingga, maka bentuknya menjadi

$\displaystyle \frac{a-p}{0 + 0}$

yang mengakibatkan limit menuju takhingga.

Kasus III, (ketika $a < p$ ), juga dilakukan dengan cara serupa, maka

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(a-p)x^2 + (b-q)x + c - r}{\sqrt{pkx^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx + r}} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{a - p + \frac{b - q}{x} + \frac{c - r}{x^2}}{\sqrt{\frac{a}{x^2} + \frac{b}{x^3} + \frac{c}{x^4}} + \sqrt{\frac{p}{x^2} + \frac{q}{x^3} + \frac{r}{x^4}}}$