1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

QUIZ! Terdapat sebuah fungsi kuadrat f(x) dan g(x) dimana koefisien

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

QUIZ!Terdapat sebuah fungsi kuadrat f(x) dan g(x) dimana koefisien x² dari kedua fungsi f dan h adalah 1,

Jika diketahui
f(3)+f(2022)+f(2022²)=g(3)+g(2022)+g(2022²)

maka tentukanlah nilai x yang memenuhi f(x)=g(x) ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

f(x) = g(x) dipenuhi oleh x = 1363503
(dengan syarat koefisien x dan konstanta pada masing-masing fungsi f(x) dan g(x) berbeda)
 

Pembahasan

Diketahui
f(x)dang(x) adalah fungsi kuadrat, di mana koefisien x^2 pada kedua fungsi adalah 1, dan memenuhi:
f(3)+f(2022)+f\left(2022^2\right)=g(3)+g(2022)+g\left(2022^2\right)

Ditanyakan
Nilai xyang memenuhif(x)=g(x)

PENYELESAIAN

Anggaplah f(x)=ax^2+b_1x+c_1dang(x)=ax^2+b_2x+c_2.
Koefisien suku x^2 sama, sehingga dapat dinyatakan dengan a saja, untuk semua a (tidak hanya untuk a=1).

Jika nilai parameter x_1hinggax_n sama, dan diberikan kepada kedua fungsi tersebut, maka:

\begin{aligned}&f(x_1)+f(x_2)+{\dots}+f(x_n)=g(x_1)+g(x_2)+{\dots}+g(x_n)\\&{\Rightarrow\ }\sum_{i=1}^{n}\left(\cancel{a{x_i}^2}+b_1x_i+c_1\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(\cancel{a{x_i}^2}+b_2x_i+c_2\right)\\&{\Rightarrow\ }\sum_{i=1}^{n}\left(b_1x_i+c_1\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(b_2x_i+c_2\right)\\&{\Rightarrow\ }\left(b_1\sum_{i=1}^{n}x_i\right)+nc_1=\left(b_2\sum_{i=1}^{n}x_i\right)+nc_2\\&{\Rightarrow\ }(b_1-b_2)\sum_{i=1}^{n}x_i=n(c_2-c_1)\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\frac{c_2-c_1}{b_1-b_2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\quad...(i)\end{aligned}

Dengan asumsi b_1\ne b_2 (dan oleh karena itu c_1\ne c_2), karena koefisien suku x^2padaf(x)dang(x) sama, maka hal ini menyisakan kesamaan nilai kedua fungsi tersebut pada bagian linearnya, yaitu f(x)=b_1x+c_1dang(x)=b_2x+c_2, sehingga:

\begin{aligned}&&f(x)&=g(x)\\&\Rightarrow&b_1x+c_1&=b_2x+c_2\\&\Rightarrow&\!\!\!(b_1-b_2)x&=c_2-c_1\\&\Rightarrow&x&=\frac{c_2-c_1}{b_1-b_2}\\&\Rightarrow&\xrightarrow{\begin{array}{c}(i)\end{array}}x&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\end{aligned}

Dengan x_1=3, x_2=2022, dan x_3=2022^2:

\begin{aligned}x&=\frac{1}{3}\left(3+2022+2022^2\right)\\&=\frac{1}{3}\left(3+3\cdot674+(3\cdot674)^2\right)\\&=\frac{1}{\cancel{3}}\cdot\cancel{3}\left(675+3\cdot674^2\right)\\&=675+3\cdot454276\\&=675+1362828\\\therefore\ x&=\boxed{\:\bf1363503\:}\end{aligned}
(catatan: asumsi di atas berlaku)

\blacksquare

 

f(x) = g(x) dipenuhi oleh x = 1363503(dengan syarat koefisien x dan konstanta pada masing-masing fungsi f(x) dan g(x) berbeda) PembahasanDiketahui[tex]f(x)[/tex] dan [tex]g(x)[/tex] adalah fungsi kuadrat, di mana koefisien [tex]x^2[/tex] pada kedua fungsi adalah 1, dan memenuhi:[tex]f(3)+f(2022)+f\left(2022^2\right)=g(3)+g(2022)+g\left(2022^2\right)[/tex]DitanyakanNilai [tex]x[/tex] yang memenuhi [tex]f(x)=g(x)[/tex]PENYELESAIANAnggaplah [tex]f(x)=ax^2+b_1x+c_1[/tex] dan [tex]g(x)=ax^2+b_2x+c_2[/tex]. Koefisien suku [tex]x^2[/tex] sama, sehingga dapat dinyatakan dengan [tex]a[/tex] saja, untuk semua [tex]a[/tex] (tidak hanya untuk [tex]a=1[/tex]).Jika nilai parameter [tex]x_1[/tex] hingga [tex]x_n[/tex] sama, dan diberikan kepada kedua fungsi tersebut, maka:[tex]\begin{aligned}&f(x_1)+f(x_2)+{\dots}+f(x_n)=g(x_1)+g(x_2)+{\dots}+g(x_n)\\&{\Rightarrow\ }\sum_{i=1}^{n}\left(\cancel{a{x_i}^2}+b_1x_i+c_1\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(\cancel{a{x_i}^2}+b_2x_i+c_2\right)\\&{\Rightarrow\ }\sum_{i=1}^{n}\left(b_1x_i+c_1\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(b_2x_i+c_2\right)\\&{\Rightarrow\ }\left(b_1\sum_{i=1}^{n}x_i\right)+nc_1=\left(b_2\sum_{i=1}^{n}x_i\right)+nc_2\\&{\Rightarrow\ }(b_1-b_2)\sum_{i=1}^{n}x_i=n(c_2-c_1)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\frac{c_2-c_1}{b_1-b_2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\quad...(i)\end{aligned}[/tex]Dengan asumsi [tex]b_1\ne b_2[/tex] (dan oleh karena itu [tex]c_1\ne c_2[/tex]), karena koefisien suku [tex]x^2[/tex] pada [tex]f(x)[/tex] dan [tex]g(x)[/tex] sama, maka hal ini menyisakan kesamaan nilai kedua fungsi tersebut pada bagian linearnya, yaitu [tex]f(x)=b_1x+c_1[/tex] dan [tex]g(x)=b_2x+c_2[/tex], sehingga:[tex]\begin{aligned}&&f(x)&=g(x)\\&\Rightarrow&b_1x+c_1&=b_2x+c_2\\&\Rightarrow&\!\!\!(b_1-b_2)x&=c_2-c_1\\&\Rightarrow&x&=\frac{c_2-c_1}{b_1-b_2}\\&\Rightarrow&\xrightarrow{\begin{array}{c}(i)\end{array}}x&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\end{aligned}[/tex]Dengan [tex]x_1=3[/tex], [tex]x_2=2022[/tex], dan [tex]x_3=2022^2[/tex]:[tex]\begin{aligned}x&=\frac{1}{3}\left(3+2022+2022^2\right)\\&=\frac{1}{3}\left(3+3\cdot674+(3\cdot674)^2\right)\\&=\frac{1}{\cancel{3}}\cdot\cancel{3}\left(675+3\cdot674^2\right)\\&=675+3\cdot454276\\&=675+1362828\\\therefore\ x&=\boxed{\:\bf1363503\:}\end{aligned}[/tex](catatan: asumsi di atas berlaku)[tex]\blacksquare[/tex] 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 10 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>