nomor 15 dan 16 yaaa

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Nomor 15 dan 16 yaaa

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

15. b. 6

16. c. 6

Pembahasan

Nomor 15

Diketahui

$\sqrt{3x+2y-8}+\left(9x^2-4y^2-32\right)^2=0$ dengan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real.

Ditanyakan

Nilai 5x – 4y

PENYELESAIAN

$\begin{aligned}&\sqrt{3x+2y-8}+\left(9x^2-4y^2-32\right)^2=0\\&\Rightarrow \begin{cases}\sqrt{3x+2y-8}=-\left(9x^2-4y^2-32\right)^2\\-\sqrt{3x+2y-8}=\left(9x^2-4y^2-32\right)^2\end{cases}\end{aligned}$

Dengan $x$ dan $y$ terbatas pada himpunan bilangan real, kedua kasus tersebut terpenuhi jika dan hanya jika:

$\begin{cases}\sqrt{3x+2y-8}=0\quad...(i)\,\ \rm dan\\\left(9x^2-4y^2-32\right)^2=0\quad...(i)\end{cases}$

Untuk persamaan $(i)$ :

$\begin{aligned}0&=\sqrt{3x+2y-8}\\0^2=0&=3x+2y-8\\\therefore\ 3x+2y&=8\ \quad\qquad...(iii)\\\therefore\qquad\quad x&=\frac{8-2y}{3}\quad...(iv)\\\end{aligned}$

Untuk persamaan $(ii)$ :

$\begin{aligned}&&0&=\left(9x^2-4y^2-32\right)^2\\&\Rightarrow&\sqrt{0}&=9x^2-4y^2-32\\&\Rightarrow&0&=(3x+2y)(3x-2y)-32\\&&&...\textsf{ substitusi $3x+2$ dari }(iii)\\&\Rightarrow&0&=8(3x-2y)-32\\&\Rightarrow&32&=8(3x-2y)\\&\Rightarrow&4&=3x-2y\\&\Rightarrow&4&=(3x+2y)-4y\\&\Rightarrow&4&=8-4y\\&\therefore&y&=\bf1\\&\therefore&\!\!\!\!\!(iv):x&=\frac{8-2y}{3}=\frac{8-2}{3}=\bf2\end{aligned}$

Dengan $x = \bf2$ dan $y = \bf1$ , maka:

$\large\text{$\begin{aligned}5x-4y=10-4=\boxed{\ \bf6\ }\end{aligned}$}$

$\blacksquare$

KESIMPULAN

∴ Nilai 5x – 4y = 6.

..............................................

Nomor 16

Diketahui

$\large\text{$\begin{aligned}\sqrt[4]{r}-\frac{1}{\sqrt[4]{r}}=14\end{aligned}$}$

dengan $r$ merupakan bilangan bulat positif, atau $r \in \mathbb{N}$ .

Ditanyakan

$\large\text{$\begin{aligned}\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}={\dots}?\end{aligned}$}$

PENYELESAIAN

Agar tidak repot mencari nilai $r$ , kita lakukan utak-atik aljabar.

$\large\text{$\begin{aligned}14&=\sqrt[4]{r}-\frac{1}{\sqrt[4]{r}}\\&=r^{{}^1\!/_4}-r^{-{}^1\!/_4}\\&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}\right)^3-\left(r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)^3\\&\ \rightsquigarrow\left[\ x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)\ \right]\\&\ \rightsquigarrow\left[\ {\rm ambil}\ x=r^{{}^1\!/_{12}},\ y=r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\ \right]\end{aligned}$}$

$\large\text{$\begin{aligned}14&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\left(\left(r^{{}^1\!/_{12}}\right)^2+\left(r^{-{}^1\!/_{12}}\right)^2+r^{{}^1\!/_{12}}\cdot r^{-{}^1\!/_{12}}\right)\\&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\left(r^{{}^1\!/_{6}}+r^{-{}^1\!/_{6}}+1\right)\\14&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\left(\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}+1\right)\end{aligned}$}$

Kita tahu bahwa 14 memiliki 4 faktor bilangan bulat positif, di mana 2 di antaranya adalah bilangan prima, yaitu 2dan7. Sehingga, persamaan terakhir dapat dinyatakan juga dengan:

$\large\text{$\begin{aligned}7\times2&=\left(\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}+1\right)\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\end{aligned}$}$

Dengan $r$ merupakan bilangan bulat positif, nilai $r^{{}^1\!/_{12}}$ atau $\sqrt[12]{r}$ pasti kurang dari $\sqrt[6]{r}$ . Oleh karena itu, posisi suku pada persamaan di atas sekaligus disesuaikan, sehingga hubungan kedua ruas dapat lebih terlihat.

Dengan demikian:

$\large\text{$\begin{aligned}\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}+1&=7\\\therefore\ \sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}&=\boxed{\ \bf6\ }\end{aligned}$}$

$\blacksquare$

$15. b. 616. c. 6 PembahasanNomor 15Diketahui[tex]\sqrt{3x+2y-8}+\left(9x^2-4y^2-32\right)^2=0[/tex] dengan [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] merupakan bilangan real.DitanyakanNilai 5x – 4yPENYELESAIAN[tex]\begin{aligned}&\sqrt{3x+2y-8}+\left(9x^2-4y^2-32\right)^2=0\\&\Rightarrow \begin{cases}\sqrt{3x+2y-8}=-\left(9x^2-4y^2-32\right)^2\\-\sqrt{3x+2y-8}=\left(9x^2-4y^2-32\right)^2\end{cases}\end{aligned}[/tex]Dengan [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] terbatas pada himpunan bilangan real, kedua kasus tersebut terpenuhi jika dan hanya jika:[tex]\begin{cases}\sqrt{3x+2y-8}=0\quad...(i)\,\ \rm dan\\\left(9x^2-4y^2-32\right)^2=0\quad...(i)\end{cases}[/tex]Untuk persamaan [tex](i)[/tex]:[tex]\begin{aligned}0&=\sqrt{3x+2y-8}\\0^2=0&=3x+2y-8\\\therefore\ 3x+2y&=8\ \quad\qquad...(iii)\\\therefore\qquad\quad x&=\frac{8-2y}{3}\quad...(iv)\\\end{aligned}[/tex]Untuk persamaan [tex](ii)[/tex]:[tex]\begin{aligned}&&0&=\left(9x^2-4y^2-32\right)^2\\&\Rightarrow&\sqrt{0}&=9x^2-4y^2-32\\&\Rightarrow&0&=(3x+2y)(3x-2y)-32\\&&&...\textsf{ substitusi $3x+2$ dari }(iii)\\&\Rightarrow&0&=8(3x-2y)-32\\&\Rightarrow&32&=8(3x-2y)\\&\Rightarrow&4&=3x-2y\\&\Rightarrow&4&=(3x+2y)-4y\\&\Rightarrow&4&=8-4y\\&\therefore&y&=\bf1\\&\therefore&\!\!\!\!\!(iv):x&=\frac{8-2y}{3}=\frac{8-2}{3}=\bf2\end{aligned}[/tex]Dengan [tex]x = \bf2[/tex] dan [tex]y = \bf1[/tex], maka:[tex]\large\text{$\begin{aligned}5x-4y=10-4=\boxed{\ \bf6\ }\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]KESIMPULAN∴ Nilai 5x – 4y = 6...............................................Nomor 16Diketahui[tex]\large\text{$\begin{aligned}\sqrt[4]{r}-\frac{1}{\sqrt[4]{r}}=14\end{aligned}$}[/tex]dengan [tex]r[/tex] merupakan bilangan bulat positif, atau [tex]r \in \mathbb{N}[/tex].Ditanyakan[tex]\large\text{$\begin{aligned}\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}={\dots}?\end{aligned}$}[/tex]PENYELESAIANAgar tidak repot mencari nilai [tex]r[/tex], kita lakukan utak-atik aljabar.[tex]\large\text{$\begin{aligned}14&=\sqrt[4]{r}-\frac{1}{\sqrt[4]{r}}\\&=r^{{}^1\!/_4}-r^{-{}^1\!/_4}\\&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}\right)^3-\left(r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)^3\\&\ \rightsquigarrow\left[\ x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)\ \right]\\&\ \rightsquigarrow\left[\ {\rm ambil}\ x=r^{{}^1\!/_{12}},\ y=r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\ \right]\end{aligned}$}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}14&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\left(\left(r^{{}^1\!/_{12}}\right)^2+\left(r^{-{}^1\!/_{12}}\right)^2+r^{{}^1\!/_{12}}\cdot r^{-{}^1\!/_{12}}\right)\\&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\left(r^{{}^1\!/_{6}}+r^{-{}^1\!/_{6}}+1\right)\\14&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\left(\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}+1\right)\end{aligned}$}[/tex]Kita tahu bahwa 14 memiliki 4 faktor bilangan bulat positif, di mana 2 di antaranya adalah bilangan prima, yaitu 2 dan 7. Sehingga, persamaan terakhir dapat dinyatakan juga dengan:[tex]\large\text{$\begin{aligned}7\times2&=\left(\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}+1\right)\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\end{aligned}$}[/tex]Dengan [tex]r[/tex] merupakan bilangan bulat positif, nilai [tex]r^{{}^1\!/_{12}}[/tex] atau [tex]\sqrt[12]{r}[/tex] pasti kurang dari [tex]\sqrt[6]{r}[/tex]. Oleh karena itu, posisi suku pada persamaan di atas sekaligus disesuaikan, sehingga hubungan kedua ruas dapat lebih terlihat.Dengan demikian:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}+1&=7\\\therefore\ \sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}&=\boxed{\ \bf6\ }\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$