Tentukan nilai limit berikut Lim x²+4-4 cos X X-> 0 x(x-1)² tan x

Berikut ini adalah pertanyaan dari gmin9671 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Tentukan nilai limit berikut

Lim

x²+4-4 cos X

X-> 0

x(x-1)² tan x

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terdapat sebuah bentuk limit sebagai berikut:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+4-4\text{cos }x}{x(x-1)^2\text{tan }x}$

Limit tersebut bernilai 3. Nilai ini diperoleh dengan konsep limit trigonometri.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+4-4\text{cos }x}{x(x-1)^2\text{tan }x}$

Ditanya: nilai limit

Jawab:

Rumus trigonometri

sin²x+cos²x = 1

sin²x = 1-cos²x

sin²x = (1-cos x)(1+cos x)

Nilai limit

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+4-4\text{cos }x}{x(x-1)^2\text{tan }x}\\=\lim_{x \to 0} \frac{x^2+4(1-\text{cos }x)}{x(x-1)^2\text{tan }x}\\=\lim_{x \to 0} \frac{x^2+4(1-\text{cos }x)}{x(x-1)^2\text{tan }x}\cdot\frac{1+\text{cos }x}{1+\text{cos }x}\\=\lim_{x \to 0} \frac{x^2(1+\text{cos }x)+4(1-\text{cos}^2x)}{x(x-1)^2\text{tan }x(1+\text{cos }x)}\\=\lim_{x \to 0} \frac{x^2(1+\text{cos }x)+4\text{sin}^2x}{x(x-1)^2\text{tan }x(1+\text{cos }x)}$

$=\lim_{x \to 0} \frac{x^2(1+\text{cos }x)}{x(x-1)^2\text{tan }x(1+\text{cos }x)}+\frac{4\text{sin}^2x}{x(x-1)^2\text{tan }x(1+\text{cos }x)}\\=\lim_{x \to 0} \frac{x}{(x-1)^2\text{tan }x}+\frac{4\text{sin}^2x}{x(x-1)^2\text{tan }x(1+\text{cos }x)}\\=\lim_{x \to 0} \frac{x}{(x-1)^2\text{tan }x}+\lim_{x \to 0}\frac{4\text{sin}^2x}{x(x-1)^2\text{tan }x(1+\text{cos }x)}$

$=\lim_{x \to 0} \frac{1}{(x-1)^2}\cdot\frac{x}{\text{tan }x}+\lim_{x \to 0}\frac{4}{(x-1)^2(1+\text{cos }x)}\cdot\frac{\text{sin }x}{x}\cdot\frac{\text{sin }x}{\text{tan }x} \\=\lim_{x \to 0} \frac{1}{(x-1)^2}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{x}{\text{tan }x}+\lim_{x \to 0}\frac{4}{(x-1)^2(1+\text{cos }x)}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\text{sin }x}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\text{sin }x}{\text{tan }x}\\=\frac{1}{(0-1)^2}\cdot1+\frac{4}{(0-1)^2(1+\text{cos }0)}\cdot1\cdot1\\=\frac{1}{(-1)^2}+\frac{4}{(-1)^2(1+1)}$