Asimtot datar dari (x) = (cos 6/x - cos 4/x)/(1

Berikut ini adalah pertanyaan dari estyo pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Asimtot datar dari (x) = (cos 6/x - cos 4/x)/(1 - cos 4/x) * adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terdapat sebuah fungsi:

$f(x)=\frac{\text{cos}\frac{6}{x}-\text{cos}\frac{4}{x}}{1-\text{cos}\frac{4}{x}}$

Fungsi tersebut memiliki asimtot datardenganpersamaan $\bf y=-\frac{5}{4}$ .

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui:

$f(x)=\frac{\text{cos}\frac{6}{x}-\text{cos}\frac{4}{x}}{1-\text{cos}\frac{4}{x}}$

Ditanya: asimtot datar

Jawab:

Fungsi ganjil/genap

Karena cosinus merupakan fungsi genap (cos x = cos(-x)), maka nilai limit x → ∞ dan x → -∞ akan bernilai sama.

Limit tak hingga dari fungsi

$\lim_{x \to \infty} f(x)\\= \lim_{x \to \infty} \frac{\text{cos}\frac{6}{x}-\text{cos}\frac{4}{x}}{1-\text{cos}\frac{4}{x}}\\\text{Misalkan }y=\frac{1}{x}\text{. Dengan demikian, }x=\frac{1}{y}\text{. Saat }x \to \infty,y \to 0.\\\text{Limitnya menjadi:}\\= \lim_{y \to 0} \frac{\text{cos}6y-\text{cos}4y}{1-\text{cos}4y}\\= \lim_{y \to 0} \frac{-2\text{sin}\frac{1}{2}(6y+4y)\text{sin}\frac{1}{2}(6y-4y)}{1-(1-2\text{sin}^22y)}\\= \lim_{y \to 0} \frac{-2\text{sin}5y\cdot\text{sin}y}{2\text{sin}^22y}$

$= \lim_{y \to 0} \frac{-\text{sin}5y\cdot\text{sin}y}{\text{sin}2y\cdot\text{sin}2y}\\= \lim_{y \to 0} \frac{-\text{sin}5y}{\text{sin}2y}\cdot\lim_{y \to 0} \frac{\text{sin}y}{\text{sin}2y}\\=\frac{-5}{2}\cdot\frac{1}{2}\\=-\frac{5}{4}$