Digit terahir dari jumlah factorial 2019 bilangan prima pertama adalah

Berikut ini adalah pertanyaan dari nisazerosugar7121 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:
Digit terahir dari jumlah faktorial 2019 bilangan prima pertama adalah 8.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Faktorial dari sebuah bilangan bulat positif $n$ didefinisikan sebagai:

$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot{\dots}\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$

Oleh karena itu, jika $n \ge 5$ , nilai faktorialnya pasti habis dibagi oleh 10, karena ada faktor 5 dan 2, sehingga digit terakhirnya adalah 0.

Jadi, digit terakhir jumlah faktorial 2019 bilangan prima pertama ditentukan oleh jumlah faktorial bilangan prima pertama yang kurang dari 5, yaitu 2! dan 3!.

Misalkan $P_{n}$ menyatakan bilangan prima ke- $n$ , maka digit terakhir jumlah faktorial 2019 bilangan prima pertama dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}&\left(2!+3!+5!+{\dots}+\left(P_{2019}\right)!\right)\!\!\mod10\\&=\left(\left(2!+3!\right)\!\!\mod10+\left(5!+{\dots}+\left(P_{2019}\right)!\right)\!\!\mod10\right)\!\!\mod10\\&=\left(\left(2!+3!\right)\!\!\mod10+0\right)\!\!\mod10\\&=\left(\left(2+6\right)\!\!\mod10\right)\!\!\mod10\\&=\left(8\!\!\mod10\right)\!\!\mod10\\&=8\!\!\mod10\\&=\boxed{\ \bf8\ }\end{aligned}$