1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

dengan menggunakan konsep turunan,tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut[tex] \:

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Dengan menggunakan konsep turunan,tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut \: \:
​
dengan menggunakan konsep turunan,tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut[tex] \: \: [/tex]​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}f'(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\end{aligned}

 

Pembahasan

Turunan

Kita akan menentukan turunan dari:

\begin{aligned}f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^n}{n!}\end{aligned}

Fungsi di atas dapat pula dinyatakan oleh notasi sigma berikut:

\begin{aligned}f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k!}\cdot x^k\right)\end{aligned}

Konsep turunan yang kita gunakan adalah:

\begin{aligned}&f(x)=ax^n\Rightarrow f'(x)=anx^{n-1} \end{aligned}

dan

\begin{aligned}&f(x)=g(x)\pm h(x)\pm{\dots}\\&\Rightarrow f'(x)=g'(x)\pm h'(x)\pm{\dots}\\\end{aligned}

Perhatikan suku pertama f(x), yaitu \dfrac{1}{0!}atau dengan melihat pola suku dapat pula dinyatakan oleh\dfrac{x^0}{0!}. Jika diturunkan, maka akan menjadi konstanta 0. Untuk suku selanjutnya,

\begin{aligned}\left(\frac{x}{1!}\right)'=\frac{x^0}{1!}=\frac{1}{1!}\end{aligned}

Lalu:

\begin{aligned}\left(\frac{x^2}{2!}\right)'=\frac{2x^1}{2!}=\frac{x}{1!}\end{aligned}

Kemudian:

\begin{aligned}\left(\frac{x^3}{3!}\right)'=\frac{3x^2}{3!}=\frac{x^2}{2!}\end{aligned}

Dan seterusnya, hingga:

\begin{aligned}\left(\frac{x^n}{n!}\right)'=\frac{nx^{n-1}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\end{aligned}

Oleh karena itu,

\begin{aligned}f'(x)&=\left(\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^n}{n!}\right)'\\&=\left(\frac{1}{0!}\right)'+\left(\frac{x}{1!}\right)'+\left(\frac{x^2}{2!}\right)'+{\dots}+\left(\frac{x^n}{n!}\right)'\\&=0+\frac{1}{1!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\\&\quad\rightsquigarrow\ 1!=0!\\f'(x)&=\boxed{\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}\\\end{aligned}

Atau dapat juga dinyatakan dengan notasi sigma:

\begin{aligned}f'(x)\:=\:\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}\:=\:\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!}\end{aligned}

(perhatikan perbedaan indeks sigma dan bentuk fungsinya)

 

KESIMPULAN

∴  Turunan dari \displaystyle f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^n}{n!} adalah:

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}

\blacksquare

 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 09 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>