Terdapat 1 segitiga siku-siku dan 3 setengah lingkaran yang disusun

Berikut ini adalah pertanyaan dari ariamuhammad587 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Terdapat 1 segitiga siku-siku dan 3 setengah lingkaran yang disusun seperti di gambar. Pertanyaannya adalah,Apakah merah + jingga - kuning = konstanta?

Jika ya, tunjukkan caranya.
Jika tidak, tunjukkan caranya.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban: Ya, luas Merah + Jingga – ΔKuning = konstanta.
Konstanta tersebut adalah 0.

Pembahasan

Segitiga Siku-Siku dan Lingkaran

Pada gambar, terdapat 1 buah segitiga siku-siku (kuning), dan 3 buah setengah lingkaran (putih atau tanpa warna, jingga, dan merah). Segitiga siku-siku berada di dalam setengah lingkaran terbesar dengan ketiga titik sudutnya terletak pada busur lingkaran. Oleh karena itu, sisi miring segitiga ini adalah diameter setengah lingkaran terbesar.

Daerah setengah lingkaran terbesar yang berada di luar segitiga siku-siku mengurangi luas setengah lingkaran jingga dan merah.

Jika panjang sisi-sisi segitiga siku-siku dinyatakan dengan a, b, dan c dengan a < b < c, maka:

$d_{\sf M}$ = diameter setengah lingkaran merah = a
$d_{\sf J}$ = diameter setengah lingkaran jingga = b
$d_{\sf P}$ = diameter setengah lingkaran terbesar (putih) = c

Sebelum melanjutkan, kita harus ingat bahwa $a^2 + b^2 = c^2$ berdasarkan teorema Pythagoras.

Luas Merah + Jingga – ΔKuning adalah:

$\begin{aligned}L&=\underbrace{L_{\sf M}+L_{\sf J}-\left(L_{\sf P}-L_{\triangle}\right)}_{\begin{array}{c}\textsf{merah+jingga}\end{array}}\ -\!\!\!\!\!\underbrace{L_{\triangle}}_{\begin{array}{c}\sf kuning\end{array}}\\&=L_{\sf M}+L_{\sf J}-L_{\sf P}+L_{\triangle}-L_{\triangle}\\&=L_{\sf M}+L_{\sf J}-L_{\sf P}\end{aligned}$

$\begin{aligned}L&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\pi\left({d_{\sf M}}^2+{d_{\sf J}}^2-{d_{\sf P}}^2\right)\\&=\frac{1}{8}\pi\left(a^2+b^2-c^2\right)\\&=\frac{1}{8}\pi\left(c^2-c^2\right)\\&=\frac{1}{8}\pi(0)\\&=\bf 0\qquad\qquad\blacksquare\end{aligned}$