tolong bantu nya kak ... terimakasih(urgent)

Berikut ini adalah pertanyaan dari cahyarufika pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Tolong bantu nya kak ... terimakasih
(urgent)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\begin{aligned}\sf4.\ &\vec{u}\cdot\vec{v}=\bf39\\\textsf{-----}&\textsf{---------------------------------}\\\sf5.\ &\textsf{Nilai tangen sudut antara}\\&\textsf{$\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah }\bf\frac{1}{3}\\\textsf{-----}&\textsf{---------------------------------}\end{aligned}$

Pembahasan

Sudut Antara Dua Vektor

Nomor 4

Vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ di $R_2$ , dengan $\big|\vec{u}\big|=13$ , $\big|\vec{v}\big|=5$ , dan cos θ = 3/5.

Hasil perkalian titik (dot product) $\vec{u}\cdot\vec{v}$ adalah:

$\begin{aligned}\vec{u}\cdot\vec{v}&=\big|\vec{u}\big|\big|\vec{v}\big|\cos\theta\\&=13\cdot\cancel{5}\cdot\frac{3}{\cancel{5}}\\\therefore\ \vec{u}\cdot\vec{v}&=\boxed{\ \bf39\ }\end{aligned}$

$\blacksquare$

..................................

Nomor 5

Diketahui vektor-vektor:

$\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\,,\ \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

Untuk menentukan nilai tangen sudut antara kedua vektor tersebut, kita dapat menggunakan beberapa cara.

Cara pertama: dengan perkalian silang dan perkalian titik.

Perkalian silang dua vektor di $R_2$ menghasilkan skalar, bukan vektor seperti pada perkalian silang dua vektor di $R_3$ .

$\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\left(\dfrac{\big|\vec{u}\times\vec{v}\big|}{\cancel{\big|\vec{u}\big|\cdot\big|\vec{v}\big|}}\right)}{\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\cancel{\big|\vec{u}\big|\cdot\big|\vec{v}\big|}}\right)}\\\tan\theta&=\boxed{\ \frac{\big|\vec{u}\times\vec{v}\big|}{\vec{u}\cdot\vec{v}}\ }\\&=\frac{\det\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\\&=\frac{2-1}{2+1}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\therefore\ \tan\theta&=\boxed{\ \bf\frac{1}{3}\ }\end{aligned}$

Cara kedua: dengan identitas trigonometri

$\begin{aligned}\tan\theta&=\pm\sqrt{\sec^2\theta-1}\\&=\pm\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}-1}\\&=\pm\sqrt{\frac{1}{\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\big|\vec{u}\big|\big|\vec{u}\big|}\right)^2}-1}\\&=\pm\sqrt{\frac{\left(\big|\vec{u}\big|\big|\vec{v}\big|\right)^2}{\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)^2}-1}\\&=\pm\sqrt{\frac{\left(\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{1^2+1^2}\right)^2}{\left(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right)^2}-1}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\tan\theta&=\pm\sqrt{\frac{\left(\sqrt{5}\sqrt{2}\right)^2}{(2+1)^2}-1}\\&=\pm\sqrt{\frac{10}{9}-1}=\pm\sqrt{\frac{1}{9}}\\\tan\theta&=\pm\bf\frac{1}{3}\end{aligned}$