1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Q. popclon[tex] \\ [/tex][tex] \tt \: hasil \: \int

Berikut ini adalah pertanyaan dari Nelsyasj pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Q. popclon \\
\tt \: hasil \: \int \: {x}^{ \frac{3}{2} } \: d \sqrt{x} \: adalah..
\\
\tt \: a. \: \frac{1}{4} \sqrt{x} + c
\\
\tt \: b. \: \frac{1}{4} x + c
\\
\tt \: c. \: \frac{1}{4} {x}^{2} + c
\\
\tt \: d. \: \frac{1}{4} {x}^{3} + c
\\
RULES ✏ :
\\
➪ Sertakan Cara-!
➪ No Ngasal-!
➪ No Copas-!
➪ Rapi.
\\
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\large\text{$\begin{aligned}\int{x}^{\frac{3}{2}}\,d\sqrt{x}&=\bf\frac{1}{4}x^2+C\end{aligned}$}

 

Pembahasan

Integral

Kita akan menentukan hasil dari:

\large\text{$\begin{aligned}\int{x}^{\frac{3}{2}}\,d\sqrt{x}\end{aligned}$}

Mungkin sebagian dari kita kurang familiar dengan d\sqrt{x}, karena biasanya dihadapkan dengan dx, atau dy, atau du, atau d-yang lainnya.

Pertama, kita samakan dulu “notasi”nya.

Kita tahu bahwa \sqrt{x}={x}^{\frac{1}{2}}. Maka:

\large\text{$\begin{aligned}\int{x}^{\frac{3}{2}}\,d\sqrt{x}&=\int{x}^{\frac{3}{2}}\,d\!\left({x}^{\frac{1}{2}}\right)\end{aligned}$}

Dari sifat eksponen, kita tahu bahwa {x}^{\frac{3}{2}}=\left({x}^{\frac{1}{2}}\right)^3. Maka:

\large\text{$\begin{aligned}\int{x}^{\frac{3}{2}}\,d\sqrt{x}&=\int\left({x}^{\frac{1}{2}}\right)^3d\left({x}^{\frac{1}{2}}\right)\end{aligned}$}

Selanjutnya, seperti pada integral substitusi, kita substitusi {x}^{\frac{1}{2}} dengan variabel lain, misalnya u. Dan kita selesaikan.

\large\text{$\begin{aligned}\int{x}^{\frac{3}{2}}\,d\sqrt{x}&=\int u^3\,du\\&=\frac{u^{3+1}}{3+1}\ =\ \frac{u^4}{4}\\&=\frac{1}{4}u^4\\\end{aligned}$}

Langkah terakhir, substitusi kembali udengan{x}^{\frac{1}{2}}, dan tambahkan konstanta.

\large\text{$\begin{aligned}\int{x}^{\frac{3}{2}}\,d\sqrt{x}&=\frac{1}{4}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^4\\&=\frac{1}{4}x^{\left(\frac{1}{2}\times4\right)}\\\therefore\ \int{x}^{\frac{3}{2}}\,d\sqrt{x}&=\boxed{\ \bf\frac{1}{4}x^2+C\ }\end{aligned}$}

\blacksquare

 

__________________

Tambahan

Untuk proses sebaliknya, dapat diuraikan sebagai berikut.

Misalkan:

\begin{aligned}f(x)=\frac{1}{4}x^2+20220504\end{aligned}

Fungsi f(x) tersebut “ekuivalen“ dengan:

\begin{aligned}g(\sqrt{x})=\frac{1}{4}\left(\sqrt{x}\right)^4+20220504\end{aligned}

karena x^2=\left(\sqrt{x}\right)^4.

Ambil u=\sqrt{x}, sehingga:

\begin{aligned}g(u)&=\frac{1}{4}u^4+20220504\\\end{aligned}

Turunan fungsi gterhadap\sqrt{x} adalah:

\begin{aligned}g'\left(\sqrt{x}\right)&=\frac{d\,g\left(\sqrt{x}\right)}{d\sqrt{x}}=\frac{dg(u)}{du}\\&=\frac{d}{du}\left(\frac{1}{4}u^4\right)+\frac{d}{du}(20220504)\\&=\frac{4u^3}{4}+0\ =\ u^3\\&\quad[\ \textsf{substitusi kembali $u$}\ ]\\&=\left(\sqrt{x}\right)^3\\&=\left (x^{\frac{1}{2}}\right)^3\\&=x^\frac{3}{2}\end{aligned}

\blacksquare

 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 02 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>