1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tolong bantu dan memberikan cara ​

Berikut ini adalah pertanyaan dari gamernice872 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Tolong bantu dan memberikan cara ​
Tolong bantu dan memberikan cara ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak tersebut adalah:
\vphantom{\big|}x < -1{\ \sf atau\ }-1 < x < 0.

Dalam bentuk himpunan penyelesaian:
\vphantom{\Big|}\{x\mid x < -1{\ \sf atau\ }-1 < x < 0,\ x\in\mathbb{R}\}
 

Pembahasan

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Fungsi Rasional

Diberikan pertidaksamaan nilai mutlak:

\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}\left|\frac{x-2}{x+1}\right|\: > \:\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\end{aligned}

Untuk bentuk pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini, kita dapat menyelesaikan dengan:

\begin{aligned}&\left|f(x)\right|\: > \:\left|g(x)\right|\\&\Rightarrow \left(f(x)\right)^2\: > \:\left(g(x)\right)^2\end{aligned}

Maka,

\begin{aligned}&\vphantom{\Bigg|}\left|\frac{x-2}{x+1}\right|\: > \:\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2\: > \:\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2}\: > \:\frac{(x+2)^2}{(x-1)^2}\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2}-\frac{(x+2)^2}{(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{(x-2)^2(x-1)^2-(x+2)^2(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\end{aligned}
\begin{aligned}&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{\left[(x-2)(x-1)\right]^2-\left[(x+2)(x+1)\right]^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{\left[(x-2)(x-1)\right]^2-\left[(x-2)(x-1)+6x\right]^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\bigg|}\quad\to\left[\ a^2-(a+b)^2=-2ab-b^2\right.\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{-12x(x-2)(x-1)-36x^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\end{aligned}
\begin{aligned}&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{-12x^3+36x^2-24x-36x^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{-12x^3-24x}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\underbrace{\frac{-12x\left(x^2+2\right)}{(x+1)^2(x-1)^2}\: > \:0}_{\div(-12)}\\&\vphantom{\Bigg|}{\Rightarrow\ }\frac{x\left(x^2+2\right)}{(x+1)^2(x-1)^2}\: < \:0\\\end{aligned}

  • Titik kritis: x=0,\ x=\pm i\sqrt{2},\ x=-1,\ x=1
  • Untuk x\in\mathbb{R}: x=0,\ x=-1,\ x=1

Penyelidikan interval

Kita perhatikan ruas kiri.

  • Untuk semua x \not\in \{-1,1\}, penyebut sudah pasti positif karena berpangkat genap. Sedangkan jika x=-1ataux=1, fungsi rasional menjadi tak terdefinisi.
  • Pada pembilang, untuk semua x yang memenuhi, \left(x^2+2\right) sudah pasti bernilai positif.

Sehingga, yang menentukan nilai ruas kiri apakah kurang dari 0 atau tidak, adalah x.

Oleh karena itu, rentang nilai x yang memenuhi adalah;

\begin{aligned}&\{x\mid x < 0,\ x\in\mathbb{R}\}\ -\ \{-1,1\}\\&=\{x\mid x < -1{\ \sf atau\ }-1 < x < 0,\ x\in\mathbb{R}\}\end{aligned}

KESIMPULAN

Himpunan penyelesaian untuk
\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}\left|\frac{x-2}{x+1}\right|\: > \:\left|\frac{x+2}{x-1}\right|\end{aligned}
adalah:

\begin{aligned}\boxed{\,\vphantom{\Big|}\{x\mid x < -1{\ \sf atau\ }-1 < x < 0,\ x\in\mathbb{R}\}\,}\end{aligned}

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 12 Nov 22
<< Previous Post
Next Post >>